équa. diff.

par **sue** » 30 Avr 2007, 14:52

Bonjour ,

on a commencé ce matin les équa diff mais je ne comprend pas un truc dans la résolution d'une équa diff de second ordre de forme : y"+ay'+by=0 (E)
on a considéré les fcts

puis on en a déduit que la condition suffisante et nécessaire pour qu'elles soient solutions de (E) , est que r vérifie une équation particulière , d'ou l'équation caractéristique .

la question que je me pose d'ou vient le choix de

?

MERCI

par **rifly01** » 30 Avr 2007, 15:15

Bonjour,

Tu écris l'équation caractéristique de ton ED

Soit

deux solutions distinctes de cette équation.
Alors les solutions de cette équadiff sont les fonctions de la forme :

par **allomomo** » 30 Avr 2007, 15:23

Salut,

D'autres cas sont possibles ... le cas ou les racines sont les mêmes ou imaginaire.

Ces cas sont traités ici.
Cherche le mot 'différentielle' dans le moteur.

par **sue** » 30 Avr 2007, 15:27

désolée je crois pas que tu as compris ma question , je cherche pas la forme des solutions de (E) mais tout d'abord avant même de trouver l'équation caractéristique pourquoi on a choisi les fcts

et non pas autres ? d'ou vient l'idée ?

suis-je claire ?

par **alben** » 30 Avr 2007, 15:27

Bonjour,

C'est vrai que la forme exponentielle comme solution potentielle peut sembler parachutée.
On peut s'appuyer sur la solution de l'équation du 1er ordre sans second membre dont on montre que la solution est une exponentielle avec une constante solution de l'équation ar+b=0.

par **sue** » 30 Avr 2007, 15:50

oui ok merci , c'est une idée :we:

mais qd même je vois pas le rapport direct avec ça .
ce qui me parait plus logique c'est de partir des équation de second ordre pour trouver les solution .

par **alben** » 30 Avr 2007, 16:08

Tu peux aussi partir du fait que l'exponentielle est la seule fonction non nulle qui soit égale à sa dérivée et si tu réfléchit à la forme de ton équation du second ordre, il apparait que pour ça marche, la solution doit avoir une dérivée qui lui ressemble beaucoup.
NB les sinus et cosinus ont aussi des propriétés proches. D'ailleurs comme la fonction nulle, ils peuvent être solution de ton équation.
Mais tout cela se généralise dans l'exponentielle (avec des exposants complexes)
Autre façon de t'en convaincre : vérifie qu'un polynome ne peut pas être la solution (il suffit de raisonner sur le degré)

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 16:15

ben pourquoi cherche-t-on des solutions exponentielles c'est la question ?

parce que ça marche (je vois que ça désolé )

par **sue** » 30 Avr 2007, 16:18

Tu peux aussi partir du fait que l'exponentielle est la seule fonction non nulle qui soit égale à sa dérivée et si tu réfléchit à la forme de ton équation du second ordre, il apparait que pour ça marche, la solution doit avoir une dérivée qui lui ressemble beaucoup.

oui effectivement , j'ai pensé à ça mais je n'étais pas sure de l'unicité , je me suis dit peut y a des fct que je connais pas et qui vérifient cette propriété .
sinon ok pour ce qui est des plynomes .

merci bien pour ta réponse alben :we:

par **sue** » 30 Avr 2007, 16:23

ok fahr , mais comment on a eu l'idée que cela va marcher ? y a qd meme pas mal de fct .

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 16:25

ce qu' a écrit alben est très juste

on peut résoudre l 'équation du premier ordre linéaire sans idée a priori

et ensuite on peut prier pour l équation linéaire du second ordre à coefficients constants

tu te poses des questions c'est bien

je me souviens qu'à ton âge quand j'ai vu la résolution pour la première fois j'étais simplement content de savoir résoudre

par **sue** » 01 Mai 2007, 00:33

contente d'avoir en plus une idée sur son origine :we:

merci à vous

bonne soirée!

par **sue** » 01 Mai 2007, 17:55

salut !

une autre question que je me pose ..
dans le cour on a juste vu la résolution des équas. diffs. de premier et second ordre je me demande alors s'il y a des solutions générales des équa diff de 3ème ordre .
j'ai cherché un peu sur net mais je trouve pas grand chose !

auriez-vous une idée ?

merci

par **fahr451** » 01 Mai 2007, 17:58

linéaires surtout

pour le premier ordre coeff quelconques

pour le second ordre et supérieur à coeffs constants

par **sue** » 01 Mai 2007, 18:07

euh fahr mais je ne comrend pas ta réponse :hein:
peux-tu traduire ça en un français un peu moins soutenu stp ? :ptdr:

par **fahr451** » 01 Mai 2007, 18:13

ok man

bon alors tu vois on sait pas faire bézef rapport aux équa diffs

on sait résoudre

celles là : y ' +a(x)y = f linéaire premier ordre
a y " +b y' +cy = f linéaire second ordre à coeffs constants

celles là tu les connais

on sait aussi

a(n) y ^(n) +....+ a(1) y^(1) = f avec a(n) ,...,a(0) des constantes

linéaire à coeffs constants d'ordre n

on sait en résoudre d'autres "particulières"
mais

y" + p(x) y = 0 on ne sait pas résoudre dans le cas général

par **Joker62** » 01 Mai 2007, 18:14

Pour les équations d'ordre n on fait appel à la diagonalisation.
TEchnique super intéressante qui lie analyse et algèbre

ça ma assez plu :)

par **fahr451** » 01 Mai 2007, 18:17

linéaires à coeffs constants joker sinon on est démuni

par **Joker62** » 01 Mai 2007, 18:22

Oui j'ai manqué de précision c'est vrai :D
Mais j'vois mal diagonaliser une matrice de fonction lol :D
Enfin bref tout ça pour dire que c'est sympa les ED

par **sue** » 01 Mai 2007, 18:23

bah voilà c'est plus compréhensible .

merci bézef bézef :we:

(vous dites aussi bézef ? :doh: )

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