Ouverts de R²

[absolut-diabolik]

A = {(x, y) 2 R² | 0 < |x 1| < 1} ; B = {(x, y) 2 R² | 0 < x =< 1} ;
C = {(x, y) 2 R² | |x| < 1, |y| =< 1} ; D = {(x, y) 2 R² | x , y }
E = {(x, y) 2 R² | x n'appartient pas Q, y n'appartient pas à Q} ; F = {(x, y) 2 R² | x2 + y2 < 4} .

Représenter graphiquement et indiquer si ce sont des ouvert de R²

Je m'en sors pas du tout avec ces histoires de topolohie même après avoir fait un dessin. Je comprends pas, même la définition qui me semblait claire finalement prout!
Help! Help!

[alavacommejetepousse]

bonjour

ouvert = voisinage de chacun de ses points

voisinage de a = partie qui contient a et tout un disque de centre a de rayon non nul


pour A : est ce que si tu prends un point a quelconque de A il y a tout un disque de centre a inclus dans A ?

[absolut-diabolik]

En prenant un point quelconque de A, je trouve un disque qui n'est pas totalement inclus dans A donc... A est un fermé ?

[Doraki]

essaye de prendre des disques plus petits.

et "ne pas être ouvert" n'a rien à voir avec "être fermé"
une partie de R² est fermée lorsque son complémentaire est ouvert.

[absolut-diabolik]

Mais si on trouve un disuqe où les points de A sont inclus mais il reste des points de A en dehors du disque c'est bon, nan? on cherche pas un disque tels que tous les points de A sont inclus

[Doraki]

On veut juste des disques inclus dans A, pas des disques contenant A.

[miikou]

salut,

le complementaire est il fermé ? regarde avec la carecterisation sequentielle
ou regarde si x°=x

[absolut-diabolik]

Mais bon après trouvé un disque inclus dans A on rédige ça comment ?

[Ben314]

Mais si on trouve un disuqe où les points de A sont inclus mais il reste des points de A en dehors du disque c'est bon, nan? on cherche pas un disque tels que tous les points de A sont inclus

Non, c'est pas bon du tout : visiblement, tu t'emmèle complètement les pinceaux dans les quantificateurs.
Pour montrer que A est ouvert, il faut montrer que :
"POUR TOUT point M de A, IL EXISTE un disque de rayon>0 centré en M et contenu dans A."
Donc, si tu veut prouver que A n'est pas ouvert, il faut montrer que :
"IL EXISTE un point M de A tel que TOUT disque de rayon>0 centré en M est non contenu dans A"

Résumé : si pour un point M de A tu as trouvé UN disque de rayon>0 centré en M non contenu dans A, eh bien... tu n'as absolument rien prouvé du tout... vu qu'il faudrait montrer que TOUT disque de rayon>0 centré en M est non contenu dans A.

[absolut-diabolik]

Ok je crois que j'ai compris. Donc si on trouvé des disques contenus dans A et d'autres qui ne le sont pas ça donne quoi ?

[Ben314]

Rebelotte :

Si, POUR TOUT point M de A, tu trouve AU MOINS UN disque de rayon>O centré en M qui soit contenu dans A, alors A est ouvert.

Si, tu trouve AU MOINS UN point M de A, tel que TOUT disque de rayon>O centré en M soit non contenu dans A, alors A n'est pas ouvert.

[absolut-diabolik]

s'il vous plait on peut faire l'exemple du A pour confirmer tout ça. Je l'en sortirais pour les autres, j'espère!

[alavacommejetepousse]

bon

1 je dessine A

c est une partie sans "les bords" (la frontière)

2 je prends un point M quelconque de A je le place exprès près du bord

3 je prends mon compas et un écartement tout tout petit (qui dépend en fait de la proximité de M par rapport au bord)
4 je trace mon cercle de centre M
5 je constate que le disque ainsi tracé est entièrement contenu dans A( si j ai fait correctement les choses)
6 j en déduis que A est un voisinage de M
7 j en déduis que A est un ouvert

[Finrod]

Intuitivement, quand on peut faire une figure, ce sont exactement les points du bords qui vérifient que tout disque les contenant n'est pas contenu dans A.

L'explication à la main est concise et jolie.

Mais, pour éviter un quiproquos, autant préciser tout de suite que les enseignants attendent aussi probablement une preuve mathématique rédigée. Ce sera l'étape suivante dans la maitrise du sujet.