Noyau d'une matrice (algèbre linéaire)

[zuko]

bonsoir
ya une question que je me pose: en TD (L1),
si on a une matrice A, on fait tjrs un pivot de colonnes, pour trouver une base du sev, et on écrit sous A, une matrice identité qu'on lui associe et qui représente ~ que ci est f(ei),
bref quand on annule des colonnes par le pivot, ca permet de trouver une relation de dépendance linéaire entre les colonnes de A qui donne 0
et on prends les coef de cette relation de dépendance linéaire ca donne les composantes d'un vecteur de la base du noyau.

pourquoi les coef de la relation de dépendance linéaire entre les colonnes donnent les composantes d'un vecteur de la base du noyau?

j'ai eu tendance à imaginer vaguement que A est l'image et que la matrice identité associée en dessous est l'antécédant de A mais je sais pas si c bon et ca n'explique pas tout

[XENSECP]

Tu parles de la méthode de Gauss?

[sylvainc2]

pourquoi les coef de la relation de dépendance linéaire entre les colonnes donnent les composantes d'un vecteur de la base du noyau?

Par exemple, on considère une matrice U à trois colonnes u1,u2,u3, et on écrit au1 + bu2 + cu3 = 0, où a,b,c sont des scalaires et 0 est le vecteur colonne 0. Par définition,les vecteurs de la forme (a,b,c) sont des vecteurs du noyau de la matrice (ou plutôt de l'application linéaire associée à cette matrice).

Si a=b=c=0 est la seule solution à cette équation, alors on dit que u1,u2,u3 sont linéairement indépendants, c'est la définition de l'indépendance linéaire. Dans ce cas, seul le vecteur (0,0,0) est élément du noyau.

Mais s'il y a d'autres solutions que a=b=c=0 ca veut dire qu'il y a des vecteurs autres que (0,0,0) dans le noyau.

[zuko]

thanks!
une autre question :
est ce que le noyau est une sorte de sous espace image associé à A mais qui n'est ni antécédent ni image de A?
un sous espace "parallèle" de de l'image de A?

[sylvainc2]

Pour une application linéaire f:E->F, ker(f) est un sous-espace vectoriel de l'ev de départ E, et im(f) est un sev de l'ev d'arrivée F. Donc à priori il n'y a pas de raison d'avoir un lien entre im(f) et ker(f) puisque que E et F peuvent être des ev complètement différents.

Mais si on prend une matrice A représentative de f dans une base donnée, alors on peut dire que im(A) est un sev qui est orthogonal à ker(A^T), où A^T est la transposée de A. C'est le seul lien entre im et ker qui me vient à l'esprit.