Algèbre linéaire - continuité du noyau d'une matrice

[Yo!]

Bonjour à tous!

Je bloque sur un problème, et c'est la première fois que je fais appel à vous. Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de se pencher dessus!

Je cherche à démontrer la continuité du noyau d'une matrice de classe .
Plus précisement, ma matrice est une Jacobienne, dont les lignes sont les gradients d'une fonction linéaire . Ma Jacobienne est définie telle que



Avec un espace vectoriel tel que et un espace vectoriel tel que .

En admettant que cette fonction soit continue ... Est-il possible de démontrer la continuité de ?

Merci!!!

[adrien69]

Le problème pour définir une continuité c'est qu'il te faut une distance. Laquelle prends-tu pour des espaces vectoriels ? Quoi qu'il en soit je vais faire sans et essayer de te montrer pourquoi un truc qui ressemble à la continuité ne marche pas.
En bref tu te demandes si, si tu prends un point u dans Ker(J(x)), pour tout y suffisamment proche de x, u est dans Ker(J(y)).
Eh bien la réponse est non en général.
Prends par exemple f(x,y)=(x²,y²) et le point (1,0). En ce point le noyau de ta Jacobienne est donné par Vect((0,1)), si je ne m'abuse. Donc u=(0,1) est dans le noyau.

Par contre, si tu prends le point (1,y), où y est aussi petit que tu le veux, la jacobienne en ce point a pour noyau le singleton (0,0), et u n'est pas dedans.

Après si tu définis bien ta métrique sur l'ensemble des espaces vectoriels, pourquoi pas, mais ça me semble ardu.

[Doraki]

L'application x -> dim(Ker(J(x))) est semi-continue supérieurement.
Et puis après il faut une topologie sur l'ensemble des sev de R^m, sans quoi ta question n'a aucun sens.

[Yo!]

Merci pour vos réponses! C'est exact, j'ai manqué de précision. Mes espaces vectoriels sont métriques. J'utilise des distances Euclidiennes.

Tu sembles avoir raison adrien69, on peut trouver plusieurs fonction pour lesquelles ça ne peut pas être démontré... Ca ne m'arrange pas tout ça!
Doraki, comment montres-tu la semi-continuité? Est-ce que tu aurais un lien vers un document qui démontre ça?!

Merci encore!

[Doraki]

C'est parceque dim Ker J >= d <=> l'un des déterminants d*d est non nul.
Comme les coeffs de J sont des fonctions continues, les déterminants aussi, et donc ce machin est une réunion d'ouverts, donc un ouvert.


Bon par contre, si tu cherches une application K : R^m -> (R^m)^m tel que Ker J(x) = le sev engendré par K(x), je pense que y'a moyen d'en avoir une continue.

[adrien69]

Sinon en considérant la plus petite topologie sur l'ensemble des sev rendant ton bidule continu c'est magique et ça marche. Mais de là à savoir si ça a un intérêt...
Tu dis que ça ne t'arrange pas, quel était ton problème de départ ?

[Yo!]

Je suis doctorant en robotique et la Jacobienne est un outil incontournable du domaine. Sans rentrer dans les détails, je travaille dans le noyau de la Jacobienne pour utiliser certaines de ses propriétés. Je transporte donc des vecteurs de R^m dans R^r (r=m-n), j'applique des transformations (continues) et je retourne les résultats dans R^m. Maintenant, il me faut démontrer que l'évolution du noyau est continue si l'évolution de la Jacobienne est continue.

Je vais effectivement essayer de le démontrer en utilisant les déterminants de J. Je suis aussi entrain d'essayer en passant par la SVD.

Merci pour vos réponses!

[Sylviel]

Je suis d'accord : a priori le noyau n'est pas continu :
Ker(0)= E
Ker(0+\epsilon*A) = Ker(A)
donc en ajoutant une matrice de taille arbitrairement petite j'obtiens n'importe quel Sev de E.

En revanche il y a une notion de semi continuité : le noyau ne peut que "diminuer de taille", i.e la dimension du noyau est s.c.s.

Et finalement je suis d'accord avec Doraki : on doit pouvoir trouver une application continue qui génère le sev. Mais ça ne me paraît pas trivial non plus.