Algèbre linéaire - Image te noyau d'1 application

[marieclo69]

Soit R2 [X ]l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à deux.
Soient e1(x)=1, e2(x)=1+x, e3(x)=1-x2

1. Montrer que {e1, e2, e3} est une base de R2 [X ].



2. Soit f l’endomorphisme de R2 [X ] défini pour tout polynôme P par :

F(P)= (2 – x2) * P’ + 2xP

Trouver une base de lm f et Ker f.



3 . Citer et vérifier le théorème du rang

[Imod]

Bonjour .

Je doute que f soit un endomorphisme .

Imod

PS : un petit bonjour ou merci d'avance ne peut pas faire de mal et fait toujours plaisir .

[xon]

Salut Imod,

pourquoi doutes tu du fait que ce soit un endo?

[Imod]

Le degré de F(P) me dérange un peu , non ?

Imod

[tize]

Le degré de F(P) me dérange un peu , non ?

Imod

Non, ça marche, les monomes de degre 3 s'annule, je pense qu'il faut lire :

[Imod]

En effet Tize , ça marche , j'ai encore lu trop vite :marteau:

Imod

[jose_latino]

Soit R2 [X ]l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à deux.
Soient e1(x)=1, e2(x)=1+x, e3(x)=1-x2

1. Montrer que {e1, e2, e3} est une base de R2 [X ].

2. Soit f l’endomorphisme de R2 [X ] défini pour tout polynôme P par :

F(P)= (2 – x2) * P’ + 2xP

Trouver une base de lm f et Ker f.

3 . Citer et vérifier le théorème du rang

1. Pour montrer que cet ensemble est une base il faut démontrer deux choses
   
   1. Que l'ensemble est linéairement indépendant. Je crois que se pas difficile, simplement il faut analyser les coefficientes de
   2. Que l'ensemble engendre à l'espace. Ça veut dire: démontrer que chaque élément de l'espace est combinason linéaire de cet ensemble.
2. Il y a un théorème qui dit que d'un ensemble qui engendre à un espace vectoriel, tu peux extraire une base. Alors on sait que l'image d'une base engendre l'image de la transformation linéaire. Même si tu ne connais pas ce théorème, tu peux vérifier que l'ensemble l.i. avec le maximum d'éléments possible, extrait de l'ensemble est une base.
3. Cette question se répondre avec les exercices antérieurs.