Normes d'une suite de vecteurs de E.

[matthieu45]

Bonsoir, j'ai un problème d'inégalité à démontrer.
dans l'exercice, on pose mn=(u1+...+un)/n
avec (un) une suite de vecteurs de E. On me demande de montrer, que pour tout ipsilon >0, il existe N appartenant à N* tel que, pour tout n>=N, on ait :
||mn||=<(N/n).max(||u1||,||u2||,...,||uN||)+ipsilon/2

et en déduire que la suite converge vers 0E.

Quelle définition dois-je utiliser de la norme ? et surtout, d'où vient ce ipsilon/2 ?
Merci d'avance, je suis perplexe.

[abcd22]

Bonsoir,
Il n'y a pas d'hypothèse sur ?

edit : ou sur ?

[matthieu45]

il est dit "la convergence des suites d'éléments de E sera toujours envisagée aus ens de cette norme" et le but de l'exercice est de montrer que si u converge vers l de E, alors la suite m aussi. Dans un premier temps, on prend l=0E.

[abcd22]

Ah OK, si tu ne le dis pas on ne peut pas t'aider...
Alors l'idée c'est de couper la somme en deux : , puis de majorer les deux parties séparément, pour la 2e on utilise le fait que pour trouver un N assez grand pour que . On n'a pas besoin de savoir quelle norme on utilise, on a seulement besoin de l'inégalité triangulaire et de pour cette norme.

[matthieu45]

merci beaucoup !
et pour prouver que mn tend vers 0E est-ce que c'est correct ?? si je dis :
ipsilon étant fixé, il en est de même de N et le réel ||u1||+...+||uN|| est donc fixé.
Ainsi (1/n).(||u1||+...+||uN||) tend vers 0 (qd n tend vers inf)

ce qu'on peut aussi écrire : qque soit N1 >=N,
(1/n).(||u1||+...+||uN||)=
Ainsi ||mn|| =< ipsilon/2 + ipsilon/2 =< ipsilon
mn tend donc vers 0E (qd n tend vers inf)

[abcd22]

le réel ||u1||+...+||uN|| est donc fixé.

Attention, dans ton énoncé c'était N max(||u1||, ..., ||uN||).
[quote]
Ainsi (1/n).(||u1||+...+||uN||) tend vers 0 (qd n tend vers inf)

ce qu'on peut aussi écrire : qque soit N1 >=N,
(1/n).(||u1||+...+||uN||)== N tel que pour tout n >= N1...). :happy3:

[Roman]

Bonjour,

Pour le petit complement, matthieu45, il me semble que ton exercice est une espece de theoreme de Cesaro dans le cas espace vectoriel norme...

Roman