Normes et multiplicativité

[zephira]

Bonjour à tous.
Voila alors une petite question :
Existe il une norme dans un algèbre quelconque ne possédant pas la propriété de multiplicativité ?
C'est à dire pour A et B dans cet algèbre, ne vérifiant pas N(AB)<=N(A)*N(B)
merci d'avance!

[Nightmare]

Salut !

Je prends la norme qui à une matrice M associe le plus grand de ses coefs (en valeur absolue) , elle n'est pas multiplicative.

[zephira]

merci pour ta réponse rapide!

[alavacommejetepousse]

bonjour

sous multiplicative en fait

les seules normes matricielles pour lesquelles on soit sûr qu elles le soient sont les normes subordonnées

[Nightmare]

bonjour

sous multiplicative en fait

Oui je me suis fait la remarque de savoir si ça se disait plutôt sous-multiplicative au même titre que sous-additive, mais après recherche sur internet, il semblerait que beaucoup d'auteur utilise multiplicativité au lieu de sous-multiplicativité. Bref, tant qu'on a la définition derrière, pas de soucis.

[Ben314]

Salut Nightmare,
Il me semble que, vu qu'il existe des diviseurs de zéro (non nuls), il n'existe pas de normes "exactement multiplicative" sur l'ensemble des matrices donc que la seule chose que l'on puisse exiger est la "sous multiplicativité"...

[SlowBrain]

Je pense que l'on peut trouver de chouettes exemples avec les ensembles de fonctions.
Par exemple : Sur C1([0;1],R) munie de la norme Sup(|f|,|f'|) prenons f(x)=x
||f||=1 mais ||f*f||=2 donc ||f*f||>||f||*||f||

[Nightmare]

Sauf erreur, ||f²||=1 non?

[SlowBrain]

f²(x)=x² et f'(x)=2x ;) donc ||f²||=sup(|f|;|f'|)=2

[Nightmare]

Pardon, j'ai pris la norme sup.

[SlowBrain]

Ouais, c'est assez déroutant parfois toutes ces normes en analyse... Celle là c'est celle qui fait de C1 un Banach. Je me demande si on ne peut pas trouver encore d'autres exemples avec les suites