Espaces normés
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
par legeniedesalpages » 27 Aoû 2008, 12:26
Bonjour,
On considère un l'evn
avec
,
.
Je bloque pour montrer qu'il existe
tel que pour tout
, on ait
.
Merci pour votre aide.
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yos
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par yos » 27 Aoû 2008, 13:11
Salut.
En minorant
par 2xy, tu arrives à
avec a et b quelconques dans [0,1].
Puis
. Ensuite tu choisis a et b réalisant l'inf et le sup de f respectivement. Enfin tu trouves un C tel que
(il existe dés que f est non constante; si f est constante c'est trivial).
Je crois que ça marche.
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totom
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par totom » 27 Aoû 2008, 13:19
Salut,
bonne idée mais ton C final dépend de f.
Il suffit de voir que f(b)-f(a) est supérieur à la norme sup, et c'est fini. A plus
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Doraki
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par Doraki » 27 Aoû 2008, 14:05
yos, ton C dépend pas mal de ta fonction f...
Il faut que a et b réalisent l'inf et le sup de f² respectivement.
Comme l'a dit yos, en minorant f²+f'² par +- 2ff' (choisir le signe selon le signe de a-b) sur [a,b] et 0 ailleurs, tu peux bien dire que N²(f) >= f²(b) - f²(a).
Ensuite tu minores f²+f'² par f²(a) pour dire que N²(f) >= f²(a).
Et de là tu peux conclure que 2.N²(f) >= f²(b) et donc t'obtiens ce que tu veux avec C = racine de 2.
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yos
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par yos » 27 Aoû 2008, 17:34
Doraki a écrit:yos, ton C dépend pas mal de ta fonction f...
En effet, j'ai été un peu vite.
Ton truc a l'air bien.
par legeniedesalpages » 28 Aoû 2008, 13:20
Un peu plus loin j'ai un souci aussi:
On considère le sous-espace fermé
. Il faut montrer que
est une norme sur
équivalente à
.
Bon pour montrer que c'est une norme pas de problème, et on a
.
Ensuite j'ai du mal à trouver
tel que
.
Edit: j'ai corrigé la définition de N'
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leon1789
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par leon1789 » 28 Aoû 2008, 13:23
Pardon, mais quelle est la définition de N' ?
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yos
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par yos » 28 Aoû 2008, 15:05
Peut-être Cauchy-Schwarz appliqué à f' et 1 pour montrer que
.
par legeniedesalpages » 28 Aoû 2008, 20:27
yos a écrit:Peut-être Cauchy-Schwarz appliqué à f' et 1 pour montrer que
.
En utilisant CS, j'ai
donc
ie
ie
et de là je ne vois pas comment en déduire que
? Pourquoi faire intervenir la norme sup?
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Doraki
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par Doraki » 28 Aoû 2008, 20:35
tu n'es pas obligé de faire l'intégrale sur le segment [0,1], tu peux t'arrêter à n'importe quel x entre [0,1] :
pour tout x,
par legeniedesalpages » 28 Aoû 2008, 21:44
je ne saisis pas le lien qu'il y a entre
et
.
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Doraki
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par Doraki » 28 Aoû 2008, 21:48
Ben ça sert si tu réussis à montrer qu'il existe C tel que C * N(f) <= || f || ?
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yos
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par yos » 28 Aoû 2008, 22:11
C'est pas N(f') mais N'(f). Ensuite tu utilises la relation de la question précédente.
par legeniedesalpages » 29 Aoû 2008, 13:46
ok, on a
et de la relation précédente on sait qu'il existe
tel que
pour toute
,
,
et de ces deux inégalités, je dois en déduire qu'il existe
tel que
? :hein:
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Doraki
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par Doraki » 29 Aoû 2008, 14:01
En fait nan la minoration de N(f) de la première question est inutile puisqu'on est en train de faire l'inverse.
T'as remarqué que
?
Tu peux montrer qu'il existe C > 0 tel que
?
par legeniedesalpages » 29 Aoû 2008, 14:06
ah oui d'accord avec,
, merci.
Il y a encore un autre point qui me perturbe, c'est pour voir si
et
sont équivalentes.
Je pense que non, et je pensais avoir trouvé un contre-exemple, mais je me suis trompé. :mur:
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Doraki
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par Doraki » 29 Aoû 2008, 14:29
Pour ça, regarde
Sinon, tu peux détailler ta preuve avec C=2 ?
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