Montrer une implication entre deux normes

[Goliath]

Bonjour,

Je suis entrain de faire un exercice où le but et de montrer l'équivalence de proposition.
J'ai presque fini mais il me manque une implication pour conclure.
Voici l'exercice:

Soit N et N' deux normes de l'espace vectoriel V, montrer l'équivalence des propriétés suivantes.
(a) l'identité de V est continue en tant qu'application de (V,N) dans (V,N')
(b) l'application N' est continue de (V,N) dans R
(c) l'application de la (b) est lipchitzienne
(d) N domine N'

J'ai réussi les applications :
(a) ==> (b)
(b) ==> (c)
(d) ==> (a)

Mais je n'arrive pas à montrer que (c) implique (d).

Merci d'avance pour votre aide.

[aviateur]

Bonjour
Je ne comprends pas pourquoi tu as un problème. En effet (c) implique (d) c'est direct (une évidence) alors que il y a au moins une implication dans tout ça qui est difficile.
Alors je me pose la question suivante: tu peux exprimer (c) puis (d) ? pour voir

[Goliath]

Pour (c) N' application de (V,N) dans R lipschitzienne cela donne:
Pour tout x,y appartenant à V il existe K une constante strictement positive telle que
| N'(x) - N'(y) | K * N(x-y)

et pour (d) N domine N'
Pour tout v appartenant à V il existe une constante C strictement positive telle que
N'(v) C * N(v)

[Goliath]

Je viens de penser à quelque chose, si je prend y = 0, j'ai alors
|N'(x) - N'(0)| K * N(x-0)
comme N' est une norme alors N'(0) = 0
qui donne N'(x) K* N(x) pour tout x appartenant à V
cela est-il correct pour prouver mon implication?

[aviateur]

oui, exactement c'est pour ça que je ne comprenais pas.
mais (b) implique (c) comment tu as fait en 2mots?

[Goliath]

Pour (b) implique (c):
J'ai pour tout > 0 il existe > 0 telle que N(x-y) < implique
|N'(x) - N(y)| <
Je prend alors = 1
et je regarde N((*(x-y))/(2*N(x-y))) c'est égale à /2 qui est bien inférieur à
J'ai alors que |N'((*x)/(2*N(x-y))) - N'((*y)/(2*N(x-y))) | < 1
avec les propriétés des normes, de la valeur absolue et enfin en factorisant j’obtiens
| N'(x) - N'(y)| < (2/) *N(x-y)

[aviateur]

Bonjour
(b) implique (c) ne me semble pas correct. En effet tu utilises que N' (l'application de (b)) est uniformément continue. Alors que dans (b) on ne sait seulement que N' est continue.

C'est à dire que pour le nombre peut dépendre de x ou de y.

[Goliath]

Bonjour,

Oui je vois que tu veux dire je me rappelle m'être fais la réflexion mais que par fainéantise ne pas avoir changer le x après avoir commencer avec et t'avoir écris vite ce que j'avais fais sans réfléchir. Je refait tout ça.

N' (l'appiation de (b) ) continue
Pour tout x pour tout > 0 il existe > 0 telle que pour tout y N(x-y) < ==> | N'(x) - N'(y)| <

Je pose x = 0 et je remarque que
N((*(0-y))/(2*N(0-y))) = N((*(y)/(2*N(y))) = /2 <
La continuité me donne en posant = 1
| N'(0) - N'((*y)/(2*N(y))) | < 1
ce qui donne
N'(y) < (2/)N(y)
je pose y = u - v et j'applique l'inégalité triangulaire
| N'(u) - N'(v)| < (2/)N(u-v)
et ainsi ne dépend ni de u ni de v

Est-ce correct ainsi ?

[aviateur]

Oui c 'est ça mais à peu près. "à peu près" veut dire que la rédaction est lourde.

[Goliath]

Ok je tente en plus simplifier

On suppose N' continue
Pour tout x pour tout > 0 il existe > 0 telle que pour tout y N(x-y) < ==> | N'(x) - N'(y)| <

Je pose x = 0 et = 1, on a alors que N(y) < ==> N'(y) < 1

Pour u différent de v
Je pose y = (*(u-v))/(2*N(u-v)) ==> N(y) = /2 <

On peut alors appliquer la continuité ce qui donne N'(u-v) < (2/)*N(u-v)

On obtiens alors le résultat souhaiter en appliquant l'inégalité triangulaire
|N'(u)-N'(v)| < (2/)*N(u-v)

[aviateur]

Ok c'est mieux. Le sujet est clos je pense.