Norme opérateur

[Davidmaths]

Peut être que

[GaBuZoMeu]

Tu n'en es pas sûr ?

[Davidmaths]

Si du coup on a bien que

[GaBuZoMeu]

L'objectif était de calculer . On n'y est pas encore, mais on a progressé.
Peux-tu trouver une suite non nulle telle que ? Ça permettrait de conclure.

[Davidmaths]

Ah oui ce que vous voulez dire c'est qu'il faut avant de calculer montrer que

Il faut que je trouve une suite tel que :



Avec une suite constance cela ne marche pas, je ne vois pas quelle suite

[GaBuZoMeu]

Non, ce n'est pas ce que je veux dire. Ce que je veux dire, c'est qu'on a montré . Et que si on trouve une suite non nulle telle que , alors on a aussi .

Qu'est-ce qui ne marche pas avec une suite constante ? Au risque de radoter : plus de soin !!

[Davidmaths]

Ah et donc si on a et ça veut dire que

Oui je m'excuse j'essaye de faire de mon mieux mais c'est un cours encore très vague pour moi ...

Si je prends une suite constante différente de 0 par exemple alors :



ah cela marche alors ...

[GaBuZoMeu]

Bon, tu as vu quelque chose.

Mais il y a toujours à redire ! Regarde ton égalité :
À gauche tu as une suite de nombres réels. À droite tu as un nombre réel. Un nombre réel, ce n'est pas la même chose qu'une suite de nombres réels. Tu écris une égalité entre deux objets qui ne sont pas du même type. Ça amène inévitablement à des confusions et à des erreurs.
Ce qui est correct, c'est :
pour tout entier ,
Là, on écrit des égalités entre objets de type "nombres réels".
Si tu fais de la programmation, tu devrais savoir que faire des confusions sur les types des objets peut causer de graves ennuis.

[Davidmaths]

Oui c'est vrai je manque de rigueur et je vous remercie de me reprendre et de me corriger pour que je m'améliore sur ce point là !

Par conséquent on a que pour tout entier n,
Donc on a trouvé une suite non nulle tel que c'est à dire tel que

Mais je ne vois pas en quoi ça veut dire que |

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Update:

Si je reprends la définition de

[GaBuZoMeu]

Tu vois l'idée, mais encore une fois ce que tu écris dans la dernière ligne n'est pas correct.
Essaie de faire mieux. Je te laisse pour ce soir.

[Davidmaths]

Etant donné que j'ai montré qu'on a trouvé une suite non nulle tel que
De plus et alors cela implique que

On a montré précédemment que
PAr conséquent

[GaBuZoMeu]

OK, tu as juste oublié "telle que ".

C'est une démarche assez fréquente pour déterminer la norme d'un opérateur : trouver une constante telle que pour tout , et exhiber un tel que ; on en déduit .

[CorentinD]

D'accord, dans cet exercice alors

Mais ne peut-on pas du coup juste montrer qye pour tout x, après on a aussi montré que donc en déduit (sans dire que )

J'avais une autre question, pour la continuité de . Ici E est l'espace vectoriel des suites réelles bornées mais cela veut pas forcément dire que est de dimension finie donc je peux pas utiliser le théorème qui dit que si est finie alors tout est continue.
Mais est-ce que je peux utiliser le fait que est bornée donc est uniformément continue donc est continue

[GaBuZoMeu]

après on a aussi montré que

Je dirais plutôt "on a aussi montré qu'il existe un tel que ". Et ceci entraîne .

est bornée donc est uniformément continue donc est continue

Que veux-tu dire exactement par " est bornée" ?

[CorentinD]

Oui c'est vrai ! Ce que je voulais dire c'est que la méthode ce n'est pas qu'il faut montrer que et donc

A est l'espace vectoriel des suites réelles bornées donc je pensais que A était lui-meêm borné

[GaBuZoMeu]

"A est l'espace vectoriel des suites réelles bornées donc je pensais que A était lui-meêm borné"
Non, ça ne tient pas debout.
Mais je pense que tu sais ce qu'il faut faire pour montrer qu'une application linéaire entre espaces vectoriels normés est continue ? (Revois ton cours si besoin).

[CorentinD]

Si je montre que alors mon application linéaire A est continue

Or,






Donc

[GaBuZoMeu]

Il y aurait des choses à dire sur ce que tu as écrit, mais je commence à fatiguer.
Et puis, on a déjà vu que pour toute suite bornée , ce qui assure la continuité de .

[CorentinD]

Oui on peut le montrer comme cela aussi ,merci !

Je vous remercie sincéremment pour toutes vos réponses et votre patience