Norme opérateur

[Davidmaths]

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice. Je réécris l'énoncé:

il existe pour tout . On pose


avec
Vous calculerez la norme d'opérateur de

J'ai commencé par montrer que A est linéaire puis je veux montrer que A est aussi continue.
Mais pour montrer que A est continu j'ai un doute. Pouvons-nous dire que est bornée car appartient à donc est uniformément continue donc continue ?

Ensuite, je n'ai aucune idée pour calculer la norme d'opérateur de T ...

Je remercie d'avance toutes les personnes qui vont m'apporter de l'aide et je vous souhaite une agréable journée !
Bien cordialement,
David

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Quelques petites coquilles dans ta recopie d'énoncé. est bien le sous espace de (et pas ) formé des suites bornées ? Et tu as oublié de préciser la norme. Je suppose que ?

Ne peux-tu pas majorer en fonction de ?

[Davidmaths]

Bonjour GaBuZoMeu,

Oui effectivement je ne savais pas comment l'écrire en latex , c'est bien

le sous espace de

. E est donc l'espace vectoriel des suites réelles bonés muni de la norme sup (comme vous l'aviez suggéré)

En fait, quand on parle de norme d'opérateur il faut vérifier les 3 axiomes de la norme ? En effet je n'ai aucune définition dans mon cours avec le terme de "norme d'opérateur".

Cependant, si j'essaye de faire ce que vous dites,

je peux dire que :


Or est borné car et

J'ai du mal à l'exprimer mais du coup je pense que

[GaBuZoMeu]

Une coquille dans ce que tu écris ( un oublié).

Pour te dépatouller, pose .
Peux-tu majorer en fonction de ?

[Davidmaths]

Excusez-moi mais je ne vois pas où j'ai oublié

Donc

Donc il faut que je majore en fonction de


Et on a aussi que

Et je ne vois pas comment les regrouper

[GaBuZoMeu]

Ici :

Or est borné car et

et par ailleurs ton argument ne va pas.

Ensuite : vraiment, si , tu ne vois pas comment majorer en faisant intervenir ??
Ça réparera aussi ton argument ci-dessus.

[Davidmaths]

J'ai peu être un idée,

on peut dire que

puis

[GaBuZoMeu]

Ça ne va pas.

Tout de même,, majorer quand on a un majorant de tous les !!!

[Davidmaths]

On peut dire :

[GaBuZoMeu]

Compte mieux ! Ce n'est pas .

[Davidmaths]

n+1 parce qu'on commence à 0

Si je reprends, on a dit que :


donc

Donc comme vous me le demandiez au départ on arrive à :



Je me suuis renseigné sur internet et j'ai vu que la norme d'opérateur (en utilisant les notations de cet exercice) :

[GaBuZoMeu]

Si je reprends, on a dit que :

Non. Tu oublies encore une fois le .

Sois un peu plus soigneux !

[Davidmaths]

Oui

on a dit excusez moi que:



Donc c'est à dire

Donc

Donc

[GaBuZoMeu]

Bon. C'était un peu pénible, mais on y arrive.
Maintenant, que peux-tu déduire de la dernière inégalité concernant la norme de l'opérateur ?

[Davidmaths]

Oui je me suis un peu mélangé entre les valeurs absolues et normes pardonnez-moi



et

[GaBuZoMeu]

Ce que tu écris ne va pas, encore un manque de soin : fais bien la différence entre et la suite .

[Davidmaths]

Donc est-ce :

[GaBuZoMeu]

Oui (en précisant tout de même que la suite n'est pas nulle, et on peut se restreindre sans changement du résultat aux suites de norme 1).
Maintenant, peux-tu avancer dans ton problème ?

[Davidmaths]

Oui je ne l'ai pas précisé mais c'est vrai et oui effectivement car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.

Justement je n'arrive pas à en déduire quelque chose avec l'inégalité

[GaBuZoMeu]

Essaie tout de même de voir plus loin que le bout de ton nez !

Tu as pour toute suite et tu connais la définition .

Vraiment, tu ne vois rien à en déduire sur ???