Norme de l'inverse d'une application linéaire

[klaimouad]

bonjour
soit une application linéaire
??

[Ben314]

Salut,
Ben prend un exemple (une bonne vieille matrice 2x2, éventuellement diagonale) et regarde si c'est vrai ou pas.

[klaimouad]

salut
non ce n'est pas vraie
puisque la dim est fini alors toutes les normes sont équivalente prenant la norme infini
alors si A = ( 5 0 0 6 ) alors , norme(A) = 6 et on a A-1 = ( 1/ 5 0 0 1/7 ) et donc norme(A-1) = 1/5
Par contre on a 1/norme(A-1 )<= norme(A)
Est-ce que ceci est vraie pour toujours ??

[Mimosa]

Bonjour

Je n'ai rien compris à la manière dont tu écris des maths. Mais tu demandes si on a toujours . Ne sais-tu pas que ?

[klaimouad]

Salut Mimosa

si alors
Or alors

d'où

[Mimosa]

Oui, ça c'est correct.

[klaimouad]

mais est ce que cela est vraie

[Mimosa]

Relis ce que j'ai écrit dans mon premier post et réfléchis un peu!

[Ben314]

Ça serait quand même pas con de revoir le B-A-BA des normes matricielles et plus précisément le notion de norme subordonnée :
L'ensemble des matrices , c'est certes un espace vectoriel et jusque là, toute les normes "se valent" (et sont équivalentes vu qu'il est de dimension finie), mais c'est aussi, voire surtout, une représentation des applications linéaires de E=R^m dans F=R^m et, si E et F sont eux même des espaces vectoriels normés, alors ça induit naturellement une norme (dite subordonnée) sur l'e.v. L(E,F) des applications linéaires de E dans F via la définition on ne peut plus naturelle : pour tout .
Et si on prend une telle norme (dite subordonnée) sur l'ensemble des endomorphisme, alors il est immédiat qu'on a lorsque a du sens.
Et en particulier, si alors donc .
Et si ta norme n'est pas une norme subordonnée mais que tu est en dimension finie, alors elle est équivalente à une norme subordonnée et il existe donc forcément une constante K (dépendant de la norme et uniquement de la norme) telle que pour tout et donc pour tout u dans

[Ben314]

mais est ce que cela est vraie

Et concernant ce type d'inégalité, même réponse que mon premier post : avant de poser ce type de question, ça te viendrait pas à l'esprit d'au moins regarder sur un exemple ce que ça donne ?
Si , ça donne quoi ?