Norme d'application linéaire

par **marie49** » 06 Fév 2008, 18:48

Bonjour à tous!
J'ai un devoir maison a faire pour la semaine prochaine, et je suis bloquée dès la première question (ca commence bien!!).

Voici l'énoncé :

On considère l'espace vectoriel muni d'une norme . Pour , on pose : .

1- Verifier que l'application N de dans est bien définie

Bon alors, déjà j'ai dit que si

et

, alors

, donc

a un sens.

Ensuite pour montrer que le sup existe, je suis un peu bloquée... J'ai dit qu'on pouvait prendre la norme sur

définie par

et que dans ce cas on a pour tout

,

et

ne dépend pas de X, donc l'ensemble

est borné, donc le sup existe.
Mais, je suis pas du tout sûre de mon raisonnement.

Quelqu'un pourrait me dire si c'est bon?
Merci d'avance.

par **le coercif** » 06 Fév 2008, 18:57

salut !!
pour verifier que l'appli. est bien définie il suffit de voire qu'elle a un sens !!!
c'est ce que tu as demontrer "d'apres ce que je voi!!"
y a pas de souci "je croi!!" :happy2:

par **marie49** » 06 Fév 2008, 19:08

Merci de ton aide le coercif!
Ca me paraissait bizarre d'avoir besoin d'introduire une autre norme (

) pour montrer que c'était bien défini. Mais je vois pas trop comment faire autrement.

Dans la question suivante, je dois démontrer que N est une norme.

J'ai réussi à montrer que :

Par contre je n'arrive pas a démontrer que

. J'ai montré que

.
Mais je vois pas en quoi ca implique que A=0?

par **yos** » 06 Fév 2008, 19:17

marie49 a écrit:J'ai dit qu'on pouvait prendre la norme sur définie par et que dans ce cas on a pour tout ,

Pour cette inégalité, il faut que |||.||| soit la norme de

subordonnée à la norme ||.|| de

(c'est justement la norme N). Donc il faut que tu trouves autre chose... en calculant AX par exemple et en utilisant les propriétés d'une norme.

par **marie49** » 06 Fév 2008, 19:19

OK, c'est bien ce que je pensais! Je vais essayer de calculer AX pour voir ce que ca donne! Merci

par **le coercif** » 06 Fév 2008, 19:43

pour la 1 !!
je croi qu'ils ont fait ca en cours "la norme N est subordonnées"
pour la deux:
N(A)=0 ==> sup|a(ij)|=0 d'ou a(ij)=0 pour tout ij!!

par **marie49** » 06 Fév 2008, 19:47

Petit essai :

Donc

+...+

C'est ca ou pas? Et la comme ca depend pas de X et que c'est fini, on peut en deduire que le sup existe...

par **marie49** » 06 Fév 2008, 19:49

le coercif, on a

. Tu dois confondre avec la norme

que j'avais introduit.

par **kazeriahm** » 06 Fév 2008, 19:59

Salut,

pour montrer que le sup existe tu peux dire aussi que l'application qui va de C^n dans C^n et qui a un vecteur X associe A*X est continue (car c'est une appli linéaire en dim finie), de même la norme || || est continue, donc la fonction qui à X de C^n associe ||A*X|| est continue également et est bornée (atteint même ses bornes) sur la boule unité qui est compacte

par **kazeriahm** » 06 Fév 2008, 20:01

marie49 a écrit:Par contre je n'arrive pas a démontrer que . J'ai montré que .
Mais je vois pas en quoi ca implique que A=0?

Si N(A)=0 alors comme tu l'as dit AX=0 pour tout X dans la boule unité.

Soit X quelconque non nul (si X est nul alors bien sur A*X=0). Dans ce cas X/2*||X|| est bien dans la boule unité donc A*X/2||X||=0...

par **le coercif** » 06 Fév 2008, 20:08

marie49 a écrit:le coercif, on a . Tu dois confondre avec la norme que j'avais introduit.

non je parle de la norme de convergence uniforme!!

par **le coercif** » 06 Fév 2008, 20:11

ah oui pardon !!!!!
c pour la 2 c ca?

par **marie49** » 06 Fév 2008, 20:26

Merci pour ton aide kazeriahm!
Pour la question 1 j'ai compris, c'est bon!
Par contre pour la 2 je suis d'accord que

est dans la boule unité, donc

, mais en quoi ca me donne que A=0?
Désolée, mais j'ai pas compris comment on conclut...

par **kazeriahm** » 06 Fév 2008, 20:33

Attention il s'agit de X/(2*||X||).

(1/2*||X||)*A*X=0, on a A*X = 0 (car (1/2*||X||)) est non nul et ce qqsoit X dans C^n donc A est nulle non ?

par **marie49** » 06 Fév 2008, 20:40

Cette fois j'ai compris c'est bon!
J'avais mal lu!
Mille mercis!!

par **yos** » 06 Fév 2008, 22:44

marie49 a écrit:

C'est ca ou pas? Et la comme ca depend pas de X et que c'est fini, on peut en deduire que le sup existe...

Si! ça dépend de X, puisque tu as le max des coordonnées de X, lequel est une norme sur

, mais elles sont toutes équivalentes donc

. Je pense pas qu'on puisse faire plus simple. L'argument de continuité de A évoqué par Kazeriahm revient exactement au même : il faut le démontrer, donc il faut une norme sur

etc. etc. Je mettrais la continuité à la fin de l'exercice.

par **marie49** » 08 Fév 2008, 22:24

Merci, Yos, j'ai réussi a faire l'exercice en utilisant l'équivalence des normes, comme tu me le conseillais.

J'ai un souci plus loin dans le devoir. En fait, je dois montrer que :

Voilà ce que j'ai fait :

Donc,

De plus, pour X=0, on a bien

(par positivité de la norme ||.||)

Finalement,

.
D'où,

.

Est-ce que c'est bon jusque la pour la redaction?
Après, j'ai essayé de montrer l'inégalité dans l'autre sens mais ca n'aboutit pas...
Un peu d'aide serait la bienvenue!
Merci

par **ThSQ** » 08 Fév 2008, 22:31

par **marie49** » 08 Fév 2008, 22:39

Oui c'est vrai j'avais pas pensé à écrire ca comme ca!
C'est bon j'ai réussi finalement!!
Merci beaucoup!

par **marie49** » 11 Fév 2008, 18:55

Bon je viens encore vous embêter...
J'ai rendu mon DM mais il y a une question à laquelle je n'ai pas su répondre, et j'aimerais comprendre parce que je ne pense pas que le prof donnera de correction.

Comment peut-t-on montrer que

?

J'ai cherché mais je n'ai vraiment pas trouvé...
Si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste....
Merci

Norme d'application linéaire

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