Norme d'une application lineaire.

[Patrick.p]

Bonjour je dois montrer la continuité d'une application lineaire définie par :
u: AxB -> H
(x,y) -> x+y

H (Hilbert)
(A et B deux sous espace vectoriel de H tel que A inter B est réduit a 0)

J'ai une idée de comment faire en ayant la norme de u,
||u|| mais je n'ai aucun souvenir de comment on définie la norme d'une application lineaire (niveau L2 ou L3 pourtant) si quelqu'un pouvait me rafraichir la mémoire?

Merci d'avance!

[tize]

On peut définir la norme d'une application linéaire de plusieurs manière, l'une d'entre elles est :

Si tu montres que le sup existe et est finie alors tu montres du même coup que u est continue car alors on a pour tout (x,y) :


[edit]
J'ajouterai qu'ici ça n'est pas vraiment nécessaire, si on prend comme norme sur l'espace produit alors la continuité de u est immédiate...

[yos]

Peut-on prendre n'importe quelle norme? Car Hilbert sous-entend souvent dinmension infinie (sinon on dit plutôt euclidien ou hermitien).

[Patrick.p]

La norme pour AxB est ici : |(x,y)| = racine de ( |x|² + |y|²).

Je vais essayé de comprendre pourquoi la continué est immediate avec la norme que tu as cité, et en faissant plus ou moins l'analogie avec celle ci-dessus je devrais y arrivé.
Mon probléme est plus maintenant de montré que ce sup existe et est fini, mais je devrais y arrivé.

Merci beaucoup

[tize]

donc
et avec Cauchy-Scwartz:
en ajoutant , on a :
, le membre de gauche vaut donc :
d'ou :
ou encore :
ce qui prouve que u est continue et

[Patrick.p]

Ben merci beaucoup, j'dois avoué que j'aurais surement pas pensé a tous ca pour cette majoration, j'avais des trucs approchant mais c'était loin d'être ca.

Merci

[tize]

De rien, je ne suis pas sûr que ce soit la methode la plus élégante...