Norme d'application linéaire

[sqrtqmaths]

Bonjour, une application linéaire doit-elle être continue pour qu'on puisse calculer sa norme ? Et si oui, pourquoi ?
Merci

[tournesol]

GaBuZoMeu me reprendra si je me trompe.
Je pense qu'une application linéaire peut avoir une norme , même si elle n'est pas continue.
Mais lorqu'elle est continue , on dispose d'une norme canonique définie comme on le sait et qu'on appelle norme subordonée(aux normes des espaces de départ et d'arrivée)

[Ben314]

Salut,
Lorsque tu as deux espaces vectoriels normés E et F, les normes sur E et F permettent de définir une norme "canonique" bien pratique sur certaines applications linéaires L de E dans F : une façon de définir cette norme est de dire que c'est le plus petit réel k tel que ||L(x)|| <= k ||x|| pour tout x de E ce qui va donner l'inégalité "très naturelle" : ||L(x)|| <= ||L||.||x||.
Sauf qu'il faut bien sûr qu'un tel réel k existe et on montre très facilement qu'il existe si et seulement si l'application linéaire L est continue en 0E (vecteur nul de E) et que ça équivaut à dire qu'elle est continue en tout point de E.
Donc effectivement, si l'application linéaire n'est pas continue, tu ne peut pas calculer sa norme (certains auteurs écrivent dans ce cas que la norme vaut +oo).

[tournesol]

Bonjour Ben314
Voici mon idée non étayée par une connaissance profonde du sujet:
Si en dimension finie toutes les applications linéaire sont continues, il en existe de pas continues en dimension infinie et leur norme subordonnées n'est pas calculable, donc n'existe pas.
Mais existe-t-il d'autres normes pour ces applications linéaires ?
J'ai un exemple mais le Latex semble ne pas passer en ce moment.

[Ben314]

Si tu te donne uniquement deux espaces vectoriels normés E et F, je ne vois pas bien comment définir une norme sur l'ensemble des applications linéaires autrement que de la façon usuelle.
Après, évidement, il y a forcément des cas particulier d'e.v.n. où on peut en construire d'autres.

[tournesol]

Toutes les normes matricielles, et il y en a beaucoup, te donnent des normes induites sur les applications linéaires.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Tu considères des matrices de taille infinie ?

[tournesol]

On note
On considère l'espace vectoriel des formes linéaires f définies sur E telles existe et on note ce nombre
Soit f la forme linéaire défie par f(P)=P(3)
La suite de terme général tend vers 0 donc la suite de terme général tend donc vers 0
Mais la suite de tg ne tend pas vers f(0)=0 .
Donc f n'est pas continue en 0 mais elle a pour norme

[tournesol]

GaBuZoMeu , quand aux matrices de taille infinie , il suffit que leurs lignes et leurs colonnes soient sommables pour pouvoir les multiplier. Leur inversion pose peut être un problème...

[Ben314]

Le "léger" problème de ton exemple, c'est que la norme que tu prend pour les formes linéaires n'a rien à voir avec la norme de l'espace E : tu utilise uniquement la structure d'e.v. de E et pas autre chose pour la construire.
Et effectivement, si on a d'un coté une norme sur certaines applications linéaires de E (e.v.) dans R et de l'autre une norme sur E sans aucun lien entre les deux, il n'y a évidement aucune raison que les applications linéaires ayant une norme soient continues pour la norme sur E.

Mais bon, il me semble que c'est exactement la même chose que de dire que, si sur un espace X quelconque, tu as deux topologies sans lien l'une avec l'autre, alors il y a fort à parier que les fonctions continues de X->R pour une des topologie ne soient pas les mêmes que celle pour l'autre topologie, non ?

[tournesol]

Et je dirais même plus, si tu prends toutes les fonctions qui ne sont pas continues pour l'une, il existe une topologie qui les rend continues.
Ceci etant dit, tu m'as parfaitement compris dans ton dernier message, message avec lequel je suis entièrement d'accord.