Norme d'une application linéaire continue

[zaidoun]

Bonjour,
On désigne par E l'espace des fonctions continues sur [-1, 1] à valeurs réelles, muni de la norme uniforme. Pour tout f dans E, on définit la forme linéaire

T(f)= \int_{-1}^{1} \sin ( \pi t) f(t) dt.

C'est facile de montrer que T es continue et que || T || <= 4 / \pi.

Je suis bloqué dans la démonstration de l'autre inégalité c'est à dire || T || >= 4 / \pi.

Merci d'avance.

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

J'ai oublié comment on résout normalement c genre de questions : :hum:

Par définition : .
Donc, pour montrer que , il suffit de trouver un tel que : et .
A ce moment là : et donc , .

J'espère ne pas avoir dit de bêtises. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[zaidoun]

oui c'est exactement ça la méthode, mais le problème est que j'arrive pas à trouver f_0

[barbu23]

Moi aussi, je ne sais pas. Il n'y'a pas une indication qui suit ton exercice ? :mur:

[zaidoun]

Non, la question est de montrer que T est continue et de calculer sa norme, sans donner aucune indication.

[barbu23]

Moi, je ne sais pas, je suis désolé. :mur:

[SLA]

Bonjour, :happy3:

J'ai oublié comment on résout normalement c genre de questions : :hum:

Par définition : .
Donc, pour montrer que , il suffit de trouver un tel que : et .
A ce moment là : et donc , .

J'espère ne pas avoir dit de bêtises. :happy3:

Cordialement. :happy3:

Oui, sauf que le sup n'est pas toujours un max. En particulier en dimension infinie.

Bonjour,
On désigne par E l'espace des fonctions continues sur [-1, 1] à valeurs réelles, muni de la norme uniforme. Pour tout f dans E, on définit la forme linéaire

T(f)= \int_{-1}^{1} \sin ( \pi t) f(t) dt.

C'est facile de montrer que T es continue et que || T || = 4 / \pi.

Merci d'avance.

Quand tu as eu ta première inégalité, tu as majoré brutalement et obtenu . C'est comme si tu avais pris la fonction f qui vaut -1 sur [-1,0] et 1 sinon. Seulement cette fonction n'est pas continue.
Mais si tu cherches à la modifier un peu, par exemple:
sur , 1 sur et affine (et continue) sur . Tu auras des inégalités fortS interessantes.

[barbu23]

Oui, sauf que le sup n'est pas toujours un max. En particulier en dimension infinie.

Quelle est la différence ? ( par rapport à notre exo celui là ). :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

il suffit de trouver un tel que : et .

La différence c'est qu'ici, une telle fonction n'existe pas.

Par contre, pour tout , il existe telle que et

[barbu23]

Pourquoi ? Et comment répondre donc à la question de l'exo ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Par contre, pour tout , il existe telle que et

Je n'ai pas compris ça. A quoi sert -il de dire comme tu as écrit Ben314 ?
Pourquoi n'existe pas ?

[Ben314]

Parce que, comme l'a déjà expliqué SLA, pour avoir avec majorée (en valeur absolue) par 1, il faudrait que soit (presque partout) égale au signe de et qu'une telle fonction continue n'existe pas.


Et "ça sert a quoi" => ben ça sert que "ta" fonction n'existe pas alors que les fonctions données par SLA, elles, elles existent... :doh:

[barbu23]

Ah oui, c'est vrai. :happy3:
Et comment donc résoudre ce problème de @zaidoun ? :hum:

[Ben314]

Ah oui, c'est vrai. :happy3
Et comment donc résoudre ce problème de @zaidoun ? :hum:

Peut-être lire le post de SLA ?

[barbu23]

D'accord, merci. :happy3:

[zaidoun]

@ SLA: Pour avoir la continuité sur [-1, 1], donc il faut prendre
sur

[Ben314]

oui

[zaidoun]

Merci bien

[SLA]

@ SLA: Pour avoir la continuité sur [-1, 1], donc il faut prendre
sur

Oui, mais ce n'est pas super important. Ce qui compte c'est soit continue et comprise en -1 et 1.
Le fait de dire qu'elle est affine, permet d'exhiber un exemple possible fonction f réalisant:
-f est comprise entre -1 et 1.
-f vaut -1 sur [-1,epsilon]
-f vaut 1 sur [epsilon, 1]
-f est continue.
Et c'est tout ce dont on a besoin ici.

[barbu23]

Bonsoir,

Si on majore différemment ? C'est à dire, on fait la chose suivante :


C'est à dire : .
Est ce qu'on peut dire que : ?.
Autrement dit, est ce qu'on peut trouver un avec : , tels que : ? Et pourquoi ?

Merci d'avance. :happy3: