Norme d'application linéaire

[Ptah Sokar]

Bonjour à tous !

J'ai quelques soucis sur l'interprétation a donner à la norme d'une application linéaire.
J'ai, tout d'abord, définit la norme d'une application linéaire u : (R , ) --> (R , ) comme ceci : = pour x et p,q {1,2,}

Je vais prendre un exemple pour illustrer ce que je ne saisis pas :
On se place dans le cas où n=2 et A= la matrice de l'application u.
On a ainsi u : (R² , ) --> (R² , ) telle que u(x) = ( + 3 , 2 - 2) pour x=(,) R²

Pour commencer, j'ai dessiné dans un repère orthonormé les " sphères unités " des normes 1, 2 et qui se traduit très grossièrement par un losange centré en 0 pour la norme 1, un cercle de centre O et de rayon 1 pour la norme 2 et un carré de côté 1 centré en 0 pour la norme .
J'ai ensuite cherché à trouver l'image de ces " sphères unités " par l'application u. Ce que j'ai réussi à faire, par exemple, pour la norme en calculant juste u((1,1)) et u((-1,1)), car comme u est linéaire on a u((-1,-1)) = -u((1,1)) et u((1,-1)) = -u((-1,1)).

En revanche ce que je n'arrive pas à saisir, c'est l'interprétation graphique que je peux donner aux valeurs , , , , ou encore .
Par le calcul j'ai réussi à trouver ce que vaut ces normes(sauf pour et ) mais graphiquement je n'arrive pas à voir ce que c'est, si quelqu'un pouvait m'expliquer :marteau: :zen:

Je vous mets tout de même ma démarche pour le calcul de l'une de ces normes, celle-ci étant la même à chaque fois :

Prenons donc
=
= | + 3| + |2 - 2|
= Y avec Y = | + 3| + |2 - 2|
Je pose ensuite x=(,) R² tel que =1 i.e || + || = 1

Or Y ||+3||+2||-2||= 3||+|| 3(||+||) = 3
D'ou 3

Cherchons maintenant un x' R² tel que = 1 et = 3. ON voit tout de suite que pour x'=(1,0) cela fonctionne.
Et donc que = 3

Voila, mais graphiquement je ne vois pas a quoi cela correspond, je sais que est la borne supérieure des rapports de la norme 1 des images u(x) par la norme 1 des x, pour x différent de 0, mais je ne vois pas ce que ca représente concrètement...
Et je n'ai également pas trouvé ce que vaut les normes et car avec ma démarche je n'aboutis a rien du tout :mur:

Sinon j'aurai voulu montrer que = avec (A) le rayon spectral de A.
J'ai tout d'abord essayé de montrer que si A est symétrique = pour ensuite utiliser le fait que ( )² = mais la aussi :hein: , vos idées seraient les bievenues :++:

merci à tous et à toutes pour vos précieuses aides !!

[Ptah Sokar]

up ! :cry: :mur: :help: :++:

[fahr451]

je t'ai donné une page d'aide détaillée sans un mot de t a part

[Ptah Sokar]

Oui merci beaucoup à toi, j'ai pu voir ce qui n'allait pas, mais ce sur quoi je bute maintenant c'est ca :

j'aurai voulu montrer que = avec (A) le rayon spectral de A.
J'ai tout d'abord essayé de montrer que si A est symétrique = pour ensuite utiliser le fait que ( )² = mais la aussi :hein: , vos idées seraient les bievenues :++:

Et je n'y arrive vraiment pas...

[fahr451]

la norme est la norme 2
pour || X || = 1
|| A X ||^2 = t(AX) AX = tX tAAX

tAA est symétrique positive donc semblable orthogonalement à D diagonale positive


D= diag (d1,...,dn) les di vp de tAA

tAA = tP D P

et || AX || = || t(PX) D PX||

en posant PX = X ' = (x'1,...,x'n) on a || X ' || = 1 (Porthogonale)

|| AX||^2 = sigma di xi'^2 =< max (di) sigma x'i^2 = max (di)

égalité atteinte pour "un bon" X'

[Ptah Sokar]

Oki, je commence à voir la démarche à adopter, mais je ne vois pas d'ou proviens le fait que ||A X||²= t(AX) AX ?

[fahr451]

la norme 2 est définie par

|| X ||^2 = sigma xi^2 = t X X


avec X une colonne et en identifiant un réel avec une matrice de taille 1,1

[Ptah Sokar]

Ouh la je suis vraiment fatigué, je prenais ton sigma pour le rayon spectrale alors que c'est tout simplement la somme, enfin sigma quoi :dodo: :mur: excuse moi ^^

Sinon merci beaucoup j'ai compris l'ensemble de la démo. !

[Ptah Sokar]

Juste une questrion, peut-être un peu bête, mais j'ai un doute :

Est ce que la somme d'un produit de valeurs absolues est toujours inférieure ou égale au produit de la somme des mêmes valeurs absolues (dans R bien sur) ?

[fahr451]

Juste une questrion, peut-être un peu bête, mais j'ai un doute :

Est ce que la somme d'un produit de valeurs absolues est toujours inférieure ou égale au produit de la somme des mêmes valeurs absolues (dans R bien sur) ?

formalise ce que tu veux dire car je ne comprends pas trop