A^2+B^2 non inversible

par **Imod** » 21 Juin 2007, 18:27

Bonjour à tous .

Un exercice que j'avais déjà proposé il y a quelque temps mais qui est passé complètement inaperçu dans un flot d'exercices du même style . Le tsunami est passé donc :

On considère deux matrices

à coefficients réels et telles que :

. Montrer que

n'est pas inversible .

Imod

par **Sylar** » 21 Juin 2007, 18:38

Bonjour,je trouve que c'est loin d'etre évident..........
Il faut montrer :det(A^2+B^2)=0....
Det(A^2+B^2)=(Pi)^n.det(A.B-B.A).........

par **Imod** » 21 Juin 2007, 18:47

Sylar a écrit:Bonjour,je trouve que c'est loin d'etre évident..........
Il faut montrer :det(A^2+B^2)=0....
Det(A^2+B^2)=(Pi-i)^n.det(A.B-B.A).........

Oui , c'est ça , mais il y a encore à dire !

Imod

par **kazeriahm** » 21 Juin 2007, 18:57

juste pour savoir le Pi ne sert a rien si ? a la limite une constante differente de 1? et encore ?!

par **Sylar** » 21 Juin 2007, 19:01

Il faut que je me creuse la tete....

par **Imod** » 21 Juin 2007, 19:04

kazeriahm a écrit:juste pour savoir le Pi ne sert a rien si ? a la limite une constante differente de 1? et encore ?!

Pi sert , pas vraiment en tant que pi mais n'importe quoi sauf 1 ne permet pas de conclure .

Imod

par **fahr451** » 21 Juin 2007, 19:12

bonsoir

la réponse de yos avait du passer inaperçue

(A+iB)(A-iB) = A^2 +B^2 +i(BA -AB) = (pi - i ) (AB-BA)

le déterminant donne

l det (A+iB) l ^2 = (pi - i) ^n det (AB -BA)

et comme (pi - i) n 'est pas réel det (AB- BA) = 0

par **kazeriahm** » 21 Juin 2007, 19:14

det A = det conjugué(A) ?

par **Yipee** » 21 Juin 2007, 19:15

Je commencerais bien en posant C = A+iB. On a alors

Edit : pas assez rapide

par **fahr451** » 21 Juin 2007, 19:15

ben non

det (A barre) = ( det A) barre

par **kazeriahm** » 21 Juin 2007, 19:16

certes sorry

par **Yipee** » 21 Juin 2007, 19:17

Il faut quand même que

ne soit pas réel ce qui est un peu plus fort que

par **Alpha** » 21 Juin 2007, 19:18

fahr451 a écrit:l det (A+iB) l ^2 = (pi - i) ^n det (AB -BA)

Peux-tu justifier ce passage s'il te plaît? C'est le membre de gauche qui me pose problème.

par **Sylar** » 21 Juin 2007, 19:19

det A = det conjugué(A) ?

Moi aussi j'aimerai savoir d'ou vient ce résultat..........

par **Alpha** » 21 Juin 2007, 19:21

Non mais c'est moi qui suis un peu fatigué, bien sûr que (det A) barre = det (A barre), pour le voir il suffit d'écrire la définition du déterminant : somme de produits etc...

par **fahr451** » 21 Juin 2007, 19:22

A et B sont réelles

C = A+i B ,
donc
C barre= A - i B

et det (C barre) = (det C) barre suffit de prendre la définition du dét

d'où det[ C C(barre) ] = det C [(det C )barre] = l det C l^2 réel

par **Imod** » 21 Juin 2007, 19:31

Si yos avait déjà répondu , bravo à lui :++:

J'avais posté l'exercice dans un flot d'exercices du même type ( je n'ai même pas réussi à retrouver lequel ) . Si au moins certains le découvrent ici , je n'ai pas complètement perdu mon temps :we:

Imod

par **Sylar** » 21 Juin 2007, 19:36

Oui ,effectivement ce fut fort intéressant.

par **yos** » 21 Juin 2007, 21:21

Imod a écrit:Bonjour à tous .

Un exercice que j'avais déjà proposé il y a quelque temps mais qui est passé complètement inaperçu dans un flot d'exercices du même style . Le tsunami est passé donc :

On considère deux matrices à coefficients réels et telles que : . Montrer que n'est pas inversible .

Imod

J'avais donné la réponse juste après que tu l'ais posé. Fais une recherche.

par **yos** » 21 Juin 2007, 21:35

Imod a écrit:Un exercice que j'avais déjà proposé il y a quelque temps mais qui est passé complètement inaperçu dans un flot d'exercices du même style .

Tes exercices ne passent jamais inaperçus. Mes réponses par contre...
C'est là :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=36612&page=3&pp=10

Je remercie Fahr d'avoir rappelé ma réponse.

A^2+B^2 non inversible

A^2+B^2 non inversible

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