Valeurs propres et matrice non inversible

[Ben314]

Tient, je l'avais pas vu celle là :

bien sur que existe ....
l'objet X pouvant aussi bien représenter un scalaire (de K) qu'une matrice (de M_n(K))
...

Y'a quand même un tout petit (sic...) problème de définition quand on cherche à définir ce qu'est A[X] avec A un anneau non commutatif (disons par exemple avec... A=Mn(K)...).
En fait, tu as deux définitions "plausibles" :

- Soit tu veut garder la propriété que tout les éléments de A[X] vont simplement s'écrire a0+a1.X+a2.X^2+...+ad.X^d avec a0,a1,...,ad dans A et ça t'oblige à poser (définition) que (ai.X^i).(aj.X^j)=(ai.aj).X^(i+j) ce qui signifie en fait que tu considère que la variable X commute avec les coefficients et ça implique immédiatement que tu ne pourra pas remplacer la variable par des éléments de A (ou alors en se restreignant à ceux dans le centre de A)
Donc, si on prend ça comme définition, et ben non, X ne peut pas représenter un élément de A.

- Soit tu veut absolument pouvoir remplacer la variable par des éléments de A et il faut accepter que tes polynômes contiennent (par exemple) des terme de la forme aX², d'autres de la forme XbX et d'autres de la forme X²b qui ne peuvent pas se "regrouper" et là, on sent qu'on s'éloigne "vraiment beaucoup" de la notion usuelle de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif A (rien que d'écrire combien tu va avoir de monomes "non regroupables" de degré donné, c'est déjà pas clair)

[Ben314]

Enfin, ça sert à quoi??

Peut être éventuellement à modéliser ce qui se passe quand par exemple tu découpe un secteur angulaire dans une feuille de papier(=R²) et que tu scotche les deux cotés du secteur pour obtenir un cône (dans R^3).

Mais je suis bien d'accord que c'est un truc bien trop théorique pour que ce soit envisageable avant au moins un BAC+10... :ptdr:

P.S. et en ce qui concerne "ce qui est admis à l'agreg.", pour ne rien te cacher, j'en pense... pas grand chose...