A nilpotent, b inversible => a+b inversible

[joce]

Bonjour,

Dans un exercice on me demande de démontrer qu'en prenant a et b deux éléments d'un anneau non-forcément commutatif, si a est nilpotent et b inversible alors on a a+b inversible.

Je connais le très classique "a nilpotent => 1-a inversible", que l'on montre généralement "par calcul", et je me dis que dans le cas spécifique ou notre anneau est un ensemble de matrices on peut démontrer notre implication en s'intéressant aux spectres de a et b. En revanche là dans le cas général je bloque un peu et je ne sais pas si on doit justifier ça par calcul (en trouvant l'inverse de a+b) ou si un argument "théorique" suffit.

Merci d'avance !

[LB2]

Bonjour,

est-ce que tu peux proposer un candidat c pour l'inverse de a+b ?

Pour te mettre sur la voie, calcule le par approximations successives :

(a+b)*(b^-1) = 1+ ... (pas tout à fait 1)
(a+b)*(b^-1+...) = 1+ .... (pas tout à fait 1, mais plus proche)
etc.
à la fin, la parenthèse de droite contiendra ce candidat.

Le fait que cet algorithme termine est justifié par la nilpotence de a

Autre méthode : traiter le cas b=1, puis s'y ramener.

[Skullkid]

Bonsoir, il manque l'hypothèse de commutativité. Si a et b ne commutent pas, le résultat est faux (exercice : trouver un contre-exemple chez les matrices 2x2).

[LB2]

Oui tout à fait, j'ai oublié de le préciser c'est très important.

Dans la preuve, on utilise le fait que si a est nilpotent et b inversible, ET a et b commutent, alors ab est nilpotent.
Ce lemme est faux si a et b ne commutent pas.

[L.A.]

Bonsoir,

le plus simple je pense est de se ramener au cas déjà traité en passant par le calcul de l'inverse de (a+b)b^(-1).
[edit] oui, c'est ce que tu signales déjà LB2

[joce]

Merci pour vos réponses.

Effectivement l'exercice est mal fait il ne précise pas que a et b commutent et ça m'a empêché de tenter un certain nombre de manœuvres

[tournesol]

Contre exemple :
10
11
et
01
00

[LB2]

Merci pour vos réponses.

Effectivement l'exercice est mal fait il ne précise pas que a et b commutent et ça m'a empêché de tenter un certain nombre de manœuvres

Il n'est pas mal fait : il est faux