Ben314 a écrit:Bonsoir,
La question est... intéressante...
Je pense qu'on s'en sort en cosidérant que, si deux matrices A et B sont telles que A+tB soit non inversible pour tout t réel t, cela signifie que le déterminant de A+tB, qui est un polynôme en t, et nul pour tout t donc que tout ces coeffs sont nuls.
Sauf que le coeff en c'est...
Ben314 a écrit:Bon, ça fait une heure que je cherche à montrer... un truc faux (et qui pourtant aurait été utile pour ton truc...) à savoir :
Si et sont deux matrices telles que alors il existe une matrice inversible dans
Contre exemple assez simple et sauf que, comme j'était persuadé que c'était vrai, ben j'ai pas cherché de contre exemple...
Mais, en voyant le contre exemple, je tenterais bien un truc du style :
Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans
Si c'est vrai, sauf erreur, ça permettrais de conclure.
Ben314 a écrit:Je pense que c'est bon, mais il y a un truc à rajouter à la fin :
quand tu dit qu'il y a forcément n coeff nuls dans A, ça me semble parfaitement O.K. (en précisant ), mais le problème, c'est qu'il faudrait montrer que les positions des fameux n coeffs nuls, c'est les même pour toutes les matrices A de l'e.v. de départ (pour le moment tu montre juste que chaque matrice a n coeff nuls).
Mais il doit suffire de considérer deux matirices A et A' où les 0 ne seraient "pas aux même endroits" puis des combinaisons linéaires des deux pour montrer que ça déconne...
non ?ben314 a écrit:Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans
Ca, ça veut dire que tu fait l'hypothèse que le s.e.v. E se présente forcément sous la forme et je ne vois pas pourquoi il en serait forcément ainsi...wserdx a écrit:ben, si dim(A)=dim(B)=n, alors , d'où , qui contient bien quelques matrices inversibles, non? ou alors je n'ai pas compris ta remarque.
donc ce n'est parce que contient des matrices inversibles que E en contient forcément...wserdx a écrit:Réciproquement, si E est un sev de , on définit A comme la somme des images des matrices de E, et B comme la somme des orthogonaux des noyaux des matrices de E, alors E est contenu dans
Et c'est l'exemple de mr_pyer :ben314 a écrit:Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans
Ce que tu est en train de dire, c'est que, partant d'un s.e.v. E quelconque de Mn(R), si on calcule ton A et ton B, alors,wserdx a écrit:Donc en particulier si dim(A)=n, dim(B)=n-1 ou dim(A)=n-1, dim(B)=n, toutes les matrices de sont de rang au plus n-1, donc non inversibles.
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