Matrice non inversible

[mr_pyer]

Je pense avoir trouvé une solution. Je reprends le début de mon post précédent :

Considérons une matrice de rang maximal de notre sev (composé uniquement de matrices non inversibles) de .
Sans perte de généralités .

Supposons dans un premier temps que .
Considérons le sous-espace vectoriel de définit par .
est un sev de dimension .
Or, . En effet, il existerait tel que la matrice juste au dessus (celle qui définit ) soit dans , ainsi est dans l'ensemble pour tout . En choisissant tel que la matrice obtenu est inversible. Ce qui est une contradiction.

Pour le cas , on fait pareil mais avec la colonne et la ligne ce qui contredira la maximalité du rang de ...

Edit : Ne marche que pour ...

[wserdx]

Hum, si tu développes le déterminant en fonction de et des , rien ne prouve que le choix des soit tel que le déterminant n'est pas nul...

[Ben314]

J'ai l'impression que ça marche (mais la fois d'avant aussi, j'avais l'impression que ça marchais...)
Par contre, c'est ennuyeux d'utiliser des inégalités : ça veut dire que la preuve marche dans R (ou C) mais pas par exemple dans les corps finis...

[mr_pyer]

Par contre, c'est ennuyeux d'utiliser des inégalités : ça veut dire que la preuve marche dans R (ou C) mais pas par exemple dans les corps finis...

Oui je suis d'accord, le pire c'est que je viens de me rendre compte que mon ensemble n'est pas un espace vectoriel si (si on met des conjugués) ! Et si on ne met pas de conjugués ça n'assure pas que la matrice soit inversible car elle est inversible ssi ...

Edit : C'est mon 100ème message :we:

[wserdx]

Curieux en effet. Pour démontrer la piste que je voulais regarder en premier, il faut en effet aussi supposer que l'espace vectoriel est euclidien...

[Ben314]

Curieux en effet. Pour démontrer la piste que je voulais regarder en premier, il faut en effet aussi supposer que l'espace vectoriel est euclidien...

J'ai aussi essayé de regarder l'orthogonal du s.e.v. V (qui est de dimension plus petite), mais ça ne m'a ammené à rien...
Dans le cas d'un corps quelconque, on peut continuer à utiliser la notion de "produit scalaire" (ou plutôt de forme bilinéaire symétrique non dégénérée) qui marche comme dans le cas réel en ce qui concerne l'orthogonalité, mais par contre le "cone isotrope" (i.e. les vecteurs u tels que =0) n'est plus réduit à 0.

[L.A.]

Bonsoir.

Question intéressante en effet, je viens de passer un peu de temps dessus, je n'ai pas la réponse mais seulement quelques pistes que je vous livre (peut être y a-t-il des redites, je n'ai pas tout suivi à fond). Soit A un sev de M_n(K) formée de matrices non inversibles.

-> si x est un vecteur non nul de K^n, alors l'ensemble des matrices carrées M telles que Mx=0 est un ev de dimension n(n-1) dont les éléments sont tous non inversibles. Donc il suffit de montrer que A est inclus dans un tel sev, c'est à dire que tous les éléments de A annulent un certain x fixé
Mais est-ce vrai ou pas ? (j'ai bien envie de l'intuiter, c'est un peu comme pour les idéaux maximaux de l'anneau des fonctions continues d'un compact dans R)

-> si dimA > n(n-1) alors l'application A -> (K^n)^{n-1} qui à M associe (Mx_1,...,Mx_{n-1}) est non injective (x_i fixés), donc si (e_1,...,e_n) est une base de K^n, il existe des matrices M_1,...,M_n dans A tels que M_i e_j = 0 ssi i<>j. La famille (M_1,...,M_n) est alors libre, et il suffirait de prouver que les f_i = M_i e_i sont libres. Mais vu que (e_1,...e_n) est quelconque ça me semble mal engagé.
En gros si dimA>n(n-1), alors pour tout sev F de K^n de dimension n-1 il existe une matrice M dans A de noyau F, mais je n'arrive pas à contrôler l'image de ces matrices.

[wserdx]

Pour ton premier point, ce n'est pas en effet pas vrai. Si tu considères les matrices ayant leur première colonne nulle, elles forment un Ev de matrices ayant un noyau commun (le premier vecteur de la base canonique). Si tu considères maintenant les matrices ayant leur première ligne nulle, elles forment un Ev de matrices n'ayant pas de noyau commun, c'est leur image qui est commune.

[Ben314]

Et l'exemple de mr_pyer avec l'e.v. engendré par et
montre en plus qu'il peut n'y avoir ni noyeau commun, ni coïmage commune (contrairement à ce que l'intuition pourrait laisser supposer...)

[L.A.]

Oui en effet, j'ai pensé à regarder les similitudes mais pas les transposées... bon, on oublie.

[wserdx]

Je pense à la démonstration suivante (valable pour un corps quelconque)
Toute matrice de rang r peut s'écrire comme une somme de r matrices de rang 1.
Il suffit ensuite d'exprimer l'EV comme une seule matrice à coefficients dans l'anneau des polynômes (ou le corps des fractions) dont les indéterminées sont les coordonnées dans une base quelconque de l'EV.
Exemple pour la matrice:

Elle est de rang 2 (dimension de plus grand mineur non nul)
Elle s'écrit

qui sont bien deux matrices de rang 1.
Chaque matrice de rang 1 (et de dimension n) ne peut contenir plus de n formes linéaires indépendantes
et comme l'EV ne peut être la somme d'au plus (n-1) matrices de rang 1, il ne peut donc être décrit par au plus n(n-1) degrés de liberté.

[Ben314]

J'ai l'impression que, ça fonctionne bien, mais... uniquement dans les corps infinis...
Tes coeffs, c'est des formes linéaires en d=dim(l'e.v.) variables et le déterminant de ta matrice "générique" c'est un polynômes en d indéterminés, qui, quelque soient les valeurs prises par les d indéterminées est nul.
Mais dans un corps fini, ça ne prouve pas que c'est le polynôme nul. Par exemple, sur Z/2Z, la matrice dépendant des paramètres a et b est non inversible pour tout a,b de Z/2Z, mais tu ne peut pas la "décomposer" comme tu le fait vu que le déterminant n'est pas le polynôme nul (au sens formel du terme) mais une fonction polynôme nulle (i.e. il est nul quelque soient les valeurs de a et b dans Z/2Z)

Après, à titre de "rustine", sur les corps finis, il y a une solution simple : on sait qu'il y existe des polynômes irréductible de tout degré, donc en particulier de degré n (= taille des matrices) et si on prend pour A une matrice compagnon d'un tel polynôme P, le polynôme minimal de A sera P donc la sous algèbre K[A] de Mn(K) engendré par A sera un corps vu qu'elle est isomorphe à K[X]/P.
Donc ça fourni un s.e.v. de dimension n de Mn(K) qui, à part la matrice nulle, ne contient que des matrices inversibles ce qui évidement limite la dimension d'un s.e.v. ne contenant aucune matrice inversible à n²-n.

Après, en utilisant justement les matrices compagnon, je me demande s'il n'y aurais pas une preuve regroupant les deux cas (corps fini et infinis...)