Irréductible non inversible et non premier dans Z/nZ ???

par **DedenK** » 25 Mar 2008, 17:43

Bonjour,

Je suis à la recherche d'un contre-exemple à la réciproque de la proposition suivante : dans tout anneau commutatif unitaire intègre, premier => irréductible...

De fait, je me place en particulier dans Z/nZ et je cherche un irréductible non premier.
Ainsi, je trouve 5 dans Z/6Z qui est irréductible car inversible, et non premier... et c'est là que le bât blesse ! Je n'arrive pas à trouver d'irréductible non premier qui soit non inversible, mais je n'arrive pas non plus à prouver que irréductible non inversible => premier !
(je ne cherche pas en toute généralité, mais juste dans l'anneau Z/nZ avec n entier)

Une idée ? Merci.
Cordialement, DedenK.

par **yos** » 25 Mar 2008, 19:19

Pourquoi 5 est non premier dans Z/6Z ?

par **ThSQ** » 25 Mar 2008, 20:44

Un élément inversible est premier ce qui est le cas de 5 dans Z/6.

Je vois pas de contrex dans Z/6 mais dans le sous-anneau de K[X,Y] formés des monomes de degré pair (XY est de degré pair) : sauf erreur XY est irréductible mais non premier car il divise X²Y² sans diviser ni X² ni Y²

par **yos** » 25 Mar 2008, 21:10

Les inversibles sont les unités de l'anneau : on les classe pas dans les premiers me semble-t-il, même s'ils vérifient la propriété "p|xy entraine p|x ou y".
C'est comme 1 et -1 : c'est des unités de Z, pas des premiers.

par **ThSQ** » 25 Mar 2008, 21:21

a est premier si (a) est premier comme idéal ou il y a une autre définition ?

par **alavacommejetepousse** » 25 Mar 2008, 21:22

je suis d'accord avec yos

par **ThSQ** » 25 Mar 2008, 22:55

yos a écrit:Les inversibles sont les unités de l'anneau : on les classe pas dans les premiers me semble-t-il, même s'ils vérifient la propriété "p|xy entraine p|x ou y".
C'est comme 1 et -1 : c'est des unités de Z, pas des premiers.

Ouais y'a un peu de flottement dans la définition mais effectivement le plus souvent on impose à un idéal premier d'être propre donc ok.

Donc 5 est bien non premier dans Z/6/Z ...

par **yos** » 26 Mar 2008, 13:58

ThSQ a écrit:a est premier si (a) est premier comme idéal ou il y a une autre définition ?

Non mais (a) premier signifie A/(a) intègre, ce qui exclut a inversible.

par **ThSQ** » 26 Mar 2008, 19:37

Ok ok. Mais si a est inversible (a) = A. Savoir si A/A est intègre ou non est plus une question de convention. Bref.

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 20:22

Au fait c quoi la difference entre premier et irreductible?Ca se fait vieux tout ca lol..Premier c qu il n y a pas de decomposition non triviale,et irreductible que l ideal engendré est premier,est ce que c ca?Auquel cas dans Z/6Z,4 engendre l ideal {0,2,4} qui est premier donc 4 est irreductible,et 4=2*2 donc 4 n est pas premier..

par **yos** » 26 Mar 2008, 20:37

ThSQ a écrit:Savoir si A/A est intègre ou non est plus une question de convention.

En effet mais c'est pas moi qui fait les conventions (pas celle-là en tout cas) et j'ai toujours vu qu'un anneau intègre est un vrai anneau :

par **yos** » 26 Mar 2008, 20:42

ffpower a écrit:Au fait c quoi la difference entre premier et irreductible?..

irréductible = pas de décomposition non triviale ou plus précisément : m non inversible et (m=ab entraîne a ou b inversible).
premier c'est : non inversible et (p|ab entraîne p|a ou p|b).

Ou encore

p premier ssi A/(p) intègre.
m maximal ssi A/(m) est un corps.

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 20:47

Ah..bon dans ce cas c l inverse:4 est premier non irreductible dans Z/6Z(mais ca contredit le thm enoncé en 1er post..)

par **yos** » 26 Mar 2008, 21:14

................

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 21:17

Il marche pas mon exemple?4 engendre bien l ensemble {0,2,4} non?(2=4*(-1) mod 6)...

par **alavacommejetepousse** » 26 Mar 2008, 21:17

yos a écrit:Dans Z/nZ, premier équivaut à irréductible.
Du moins ça me semble clair : j'espère que je dis pas de connerie.

un anneau fini intègre est un corps

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 21:21

Ok,4=2*2 mais 4|pq implique 4|p ou 4|q..la les def ne sont pas equivalantes,j ai dit de la mouise,et l aurgument de alavamachin semble irrefutable

par **yos** » 26 Mar 2008, 21:29

Non je raconte (au moins) une connerie : c'est le lien entre "a irréductible" et "(a) maximal" qui est faux.
La deuxième propriété est bien plus forte.
Donc il n'y a pas équivalence entre premier et irréductible dans Z/nZ comme je l'ai cru (d'ailleurs j'efface le précédent message).

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 21:52

En fait ya un truc que j ai du pas pigé car les defs que vous donnez de premier et irreductible me semblent equivalantes par definition

par **yos** » 26 Mar 2008, 22:30

Ben non ton exemple avec 4 dans Z/6Z fait bien la différence :

4 est premier car : il divise uniquement 0,2,4 et si tu écris l'un de ces entiers comme un produit, tu vois qu'il divise un des facteurs du produit.
Point de vue idéaux : (Z/6Z)/4(Z/6Z)=Z/2Z qui est bien intègre.

4 n'est pas irréductible car 4=2X2 et 2 n'est pas inversible.

Irréductible non inversible et non premier dans Z/nZ ???

Irréductible non inversible et non premier dans Z/nZ ???

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