Non intégrabilité

[Mohamed]

salut.
parfois il est plus difficile de trouver un équivalent d'une fonction, pour démonter son non intégrabilité sur un intervalle..ma question : y'a t-il une méthode à travers laquelle on peut prouver qu'une fonction est non intégrable (si on trouve pas un équivalent de Riemman)??

merci d'avance

[BQss]

salut,
si elle est positive, en la minorant par une fonction pas integrable(positive) par exemple.

[emdro]

Bonjour BQss,

F:x->2 est positive et minorée par la fonction de Dirichlet, mais intégrable, non? :triste:

[BQss]

salut emdro, il s'agit ici de fonction pas integrable

[BQss]

Bonjour BQss,

F:x->2 est positive et minorée par la fonction de Dirichlet, mais intégrable, non? :triste:

hmm, parlons de fonction dont l'integrale existe, c'est parce que tu minores encore par une fonction dont l'integrale n'existe pas avant qu'on la considère integrable ou pas(integrable voulant dire que ca ne diverge pas).

[emdro]

Pardonne-moi, je n'ai pas dû comprendre...

Mohammed demande une méthode pour prouver qu'une fonction n'est pas intégrable.
Tu lui donne une "condition suffisante".
Je remarque que cette condition ne convient pas à ma fonction F sur [0,1].

[BQss]

Minoré par une fonction qui "diverge", si tu preferes ca "que pas integrable".

Tes contres exemples ne s'obtiennent que pour des fonctions dont l'integrale n'a pas de sens(pour Riemann), par pas integrable j'entends uniquement "qui diverge" ici

[emdro]

D'accord, si c'est bien cela la question... :ptdr:
Je veux bien le croire à cause de l'histoire d'équivalents....

[BQss]

Je veux bien le croire à cause de l'histoire d'équivalents....

ba oui... c'est exactement ce que j'allais dire, c'est bien parcequ'il parle d'equivalent que la non integrabilité pour lui equivaut a diverger.
On ne prend uniquement que des fonctions dont l'integrale existe, si non ca n'a pas grand interet.

[Mohamed]

je vous remercie..

[quinto]

De toute façon la fonction de Dirichlet est intégrable, donc pas de problème ...

[quinto]

Et par fonction pas intégrable, on entend fonction mesurable non intégrable, sinon c'est un peu ridicule ...

[BQss]

De toute façon la fonction de Dirichlet est intégrable, donc pas de problème ...

Pas du tout, la fonction de dirichlet n'est pas Riemann intégrable(car elle n'admet pas d'integrale de Riemann), on parlait ici de Riemann. Il faut faire attention a la definition de l'integrale qu'on utilise, qui n'est pas une valeure absolue en soit.

Si maintenant on parle d'integrale de Lebesgue, oui elle est tout a fait mesurable , et tout a fait integrable sur tout compact, meme mieux elle est integrable sur R(prendre la somme des integrales sur [-1;1]).

Et par fonction pas intégrable, on entend fonction mesurable non intégrable, sinon c'est un peu ridicule ...

Quant a l'interet de parler de fonction dont l'integrale a un sens je suis tout a fait d'accord.
Ici pour Riemann, ca a peu d'interet d'introduire la fonction de dirichlet.

Et si on rentre dans la théorie de la mesure, ca a tres peu d'interet de parler des fonctions non mesurables(et dircihlet l'est de toute facon biensur dans cette théorie )...

Quand je parlais de minorer par une fonction non integrable, ici pour Riemann ou meme pour Lebesgue, je parlais de minorer par des fonctions dont l'integrale etait définie sur ... Si non pas integrable veut juste dire qu'elle n'admettent pas d'integrale et alors ca n'a plus aucun sens de comparer...
Au sens de Riemann, avant d'etre pas integrable, la fonction de dirichlet n'admet tout simplement pas d'integrale; pas integrable quand on parle d'integrale ayant un sens voulant alors dire tout simplement d'integrale divergente et c'est par ce genre de fonction qu'il est interessant de minorer et dont on parle implicitement(quelque soit la definition de l'integrale qu'on utilise) quand on dit-elle qu'elles ne sont pas integrables(sauf cas particulier ou le contexte serait propice a faire attention a si c'est defini car on étudierait des fonctions peu regulieres, ce qui n'était pas le cas de la question ici ou il parlait d'equivalent et ou pas integrable suggerait, divergeant...), 100% d'accord...

[emdro]

De toute façon la fonction de Dirichlet est intégrable, donc pas de problème ...

On s'est quand même tous mal compris...

[BQss]

On s'est quand même tous mal compris...

lol :ptdr:

[quinto]

Pas du tout, la fonction de dirichlet n'est pas Riemann intégrable(car elle n'admet pas d'integrale de Riemann), on parlait ici de Riemann.

Heu, ou est ce indiqué ?

Il faut faire attention a la definition de l'integrale qu'on utilise, qui n'est pas une valeure absolue en soit.

Oui, mais en général quand on ne précise rien, il s'agit de l'intégrale de Lebesgue, question de souplesse .

[BQss]

(si on trouve pas un équivalent de Riemman)??

Quand on parle d'equivalent de riemann, on a tendance a traiter des integrales de riemann, l'autre facteur est que plus que probablement, vu le type de question, c'est l'integrale de riemann qu'il a vu et pas encore lebesgue ou on s'attache a étudier d'autre chose que ce genre de questions que j'oserai appelé "triviales" quand on voit la puissance de la théorie de la mesure et ce a quoi elle peut s'attaquer(les resultats admis sur les equivalents provenant d'ailleurs de resultats obtenus pour la théorie de riemann, que l'on etend plus tard a lebesgue quand on l'aborde...) .

En effet beaucoup de resultats sont communs aux deux integrales et dans certaines conditions. il y a même équivalence.

Pour ce qui est de la souplesse, moi je ne bosse que sur des integrales de lebesgue, car c'est cette théorie qui est adaptée a la théorie des probabilités, la theorie de la mesure est bien plus puissante et circonstancielle en l'occurence...

Mais a moins qu'on le precise ici, c'est de riemann dont on parle, car je vois mal un etudiant en bac+3,4,5 venir se poser ce genre de question a partir de la théorie de la mesure, on se pose ce genre de questions avant, quand on aborde les integrales de riemann...

La question n'est pas "si on ne precise pas de quoi parle -t-on, mais plutot, si on ne precise pas est qu'on est en xème année de quoi parle-t-on?
Quand un etudiant en 2ème année ne precise pas, il parle de riemann, si je parle avec toi sans preciser, je parlerai de lebesgue en effet, mais ce n'est pas moi qui est posé la question et je ne t'aurais sans doute pas posé ce genre de question sur l'integrale de Lebesgue...

:++:

[quinto]

Donc pour répondre sur un forum de maths, il faut être un peu psychologue en fin de compte ;)

a+

[quinto]

Cela étant j'avais bien compris qu'il était question de l'intégrale de Riemann, je voulais juste montrer à emdro que si on voulait faire exprès de ne pas comprendre, on pouvait aussi faire en sorte que sa réponse n'ai pas de sens.

a+

[Mohamed]

les intégrales de Riemman, c'est ce qui me semblait habituel, Lebesgue c'est niveau très supérieur, moi je parlais de la méthode des équivalents (les fonctions t-->1/t^a) ou bien à minorer ...