Oui,
On peut voir R comme un Q-espace vectoriel, et un morphisme de groupe de (R,+) dans (R,+), on montre facilement que c'est un morphisme de Q-espaces vectoriel (c'est ce que vous avez du faire en cours).
En temps que Q-e.v. R n'est pas de dimension fini (car il est non dénombrable alors que, quelque soit n, Q^n est dénombrable).
Mais, modulo d'utiliser l'axiome du choix (en occurrence le Lemme de Zorn) on peut trouver des bases
_{i\in I})
(avec
infini non dénombrable) de R en temps que Q-espace vectoriel et, pour définir entièrement un morphisme de groupe de f:R->R, il faut (et il suffit) de choisir les images
)
des différents éléments de la base et il y a beaucoup beaucoup de solutions non R-linéaires (mais elles sont évidement Q-linéaires)
Plus précisément, si tu te donne un certain nombre (fini ou pas)
_{j\in J})
de réels qui forment une famille Q-libre, et une famille quelconque
_{i\in J})
de réels, alors, modulo le lemme de Zorn, tu peut compléter la famille
_{i\in J})
en une base du Q-e.v. R et définir un morphisme de groupe f:(R,+)->(R+) tel que
=y_i)
pour tout
.
Par exemple, modulo le lemme de Zorn, il existe un morphisme de groupe f:(R,+)->(R,+) tel que f(1)=0 (donc f(x)=0 pour tout x de Q) et
=1)
(donc
=x)
pour tout x de Q et plus généralement,
=y)
pour tout x,y dans Q)
