Sous Groupes additifs

[mehdi-128]

Bonjour,on considère le sous groupe additif engendré par a et b:

G(a,b)={na+mb,n et m dans Z}
Montrer que G(a,b) discret si et seulement si:a/b appartenant a Q.
Dans ce cas,on montrera que si: / (a/b) /=(p/q) avec p et q dans N et p et q premiers entre eux,le sous groupe:G(a,b)=(a/p)Z

Je comprends pas grand chose ,merci.....

[aviateurpilot]

j'ai vu la definition de discret dans google pour avoir pouvoir resoudre cet exo

discret
donc discret.
mtn l'exo est tres facile

[mehdi-128]

c'est quoi E ?

[aviateurpilot]

c'est quoi E ?

c'est l'ensemble des element de G divisé par b.

par exemple si G={1,2,3,4...}
{1/b , 2/b , 3/b....}
c'est quoi discret d'apres ton cours?

[mehdi-128]

Discret c'est de la forme aZ ou a apartient a R.

[mehdi-128]

Oui mais y a équivalence......

[aviateurpilot]

donc on peux montrer facilement
que G discret ssi E={x/b avec x dans G} l'est aussi
et c'et ce que j'ai fait.
il suffit mtn de montrer que (1): Z+(a/b)Z discret ssi (2):a/b dans Q
2=>1 evidant
il te rest 1=>2.
x=a/b
donc tu doi montrer que x irrationnel =>

[yos]

Bonjour.
C'est sûrement redondant avec ce que t'a fait aviateurpilote mais ça peut t'aider.

1) si G(a,b) discret, G=rZ, donc , donc , donc a/b rationnel.

2) Réciproque : a/b rationnel donc et on peut supposer .
On a donc donc .
Pour l'autre inclusion, il suffit de prouver que ; pour ça on peut partir de Bézout : donc , donc donc

[Lierre Aeripz]

Petit complément classique... On peut se demander ce qui se passe si a/b n'est pas rationnel.

Soit .
Montrons que est dense dans \mathbb{R} si et est monogène sinon.

On note .
On pose .

1er cas.
Alors .
En effet, soit . Soit tel que .
et . Par définition de m, .
Donc .
Donc

2nd cas.
Montrons que E coupe tout ouvert de .
Soit (C'est pareil si on change les signes.)
Comme , .
.
Dans car et dans E car .
Donc E dense dans .

[Daniel-Jackson]

C'est exactement ce que dit le théorème de classification des sous groupes additifs de R :
Un sous groupe de R est soit dense , soit discret . S'il est discret il est de la forme aZ .

Il y'a plusieurs démonstartions dont celle donnée par Lierre Aeripz

[mehdi-128]

Ok merci yos.

[mehdi-128]

Une autre question:En admettant que Pi est irrationnel en considérant G(1,2Pi) et le fait que cos est surjective de R sur [-1,1] en déduire l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (cos(n)).

[aviateurpilot]

C'est sûrement redondant avec ce que t'a fait aviateurpilote mais ça peut t'aider.

mais je viens de voir la definition de cet notion (discret).


si x=a/b irrationnel,
il existe une suite qui converge vers x
on a donc converge vers
donc n'est pas discret

[Lierre Aeripz]

Avec ceci, et la densité dans de tu devrais y arriver seul.

[mehdi-128]

désolé mais je vois pas le rapport entre G(1,2Pi) et la suite cos(n).....

[aviateurpilot]

désolé mais je vois pas le rapport entre G(1,2Pi) et la suite cos(n).....

[yos]

mais je viens de voir la definition de cet notion (discret).

Non mais j'ai pas critiqué ton truc.
Redondant ça veut dire que c'est la même chose.

[aviateurpilot]

Non mais j'ai pas critiqué ton truc.
Redondant ça veut dire que c'est la même chose.

je uis tres nul en francais :ptdr:

[yos]

dense dans R donc son image par la fonction cosinus (qui est continue) est ...

[Lierre Aeripz]

On montre que .
Tu vois ou je continue ?