Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

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PTJules
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Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par PTJules » 24 Oct 2018, 14:39

Bonjour, petite question pour un dm :
Soit S une matrice stochastique et symétrique :
En vous appuyant sur le cours sur les espaces prehilbertiens (et Euclidiens) justifier quelle est diagonale et que son spectre est inclu dans l'intervalle [-1;1]...
Et ensuite je dois avec l'endomorphisme associé a S noté f, montrer que l'espace vectoriel d'équation cartésienne x1+...+xn=0 est stable par f..
Impossible de tomber sur la dite propriété :/
Merci !



aviateur
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par aviateur » 24 Oct 2018, 15:32

Tu veux surement dire diagonalisable. Elle l'est puisque c'est un résultat bien connu d'algèbre que une matrice symétrique à coefficient réels est diagonalisable (dans R).
Désignons par cette matrice.
Soit une valeur valeur propre est u un vecteur propre correspond tel que ||u||_{\infty}=1.
Soit i la ligne telle que
On a et tu appliques l'inégalité triangulaire pour obtenir le résultat

Evidemment u=(1,1,...,1)^t est un vecteur propre pour la valeur propre 1.
L'espace en question est l'orthogonal de u. On en déduit que cette espace est stable par f (toujours parce que M est sym à coeff rél).

Pour mémoire cela vient de v^t.u=0 alors
( )
Modifié en dernier par aviateur le 24 Oct 2018, 16:19, modifié 2 fois.

PTJules
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par PTJules » 24 Oct 2018, 15:38

Oui oui diagonalisable ! (Correction automatique de mon téléphone)
Ok, mais le fait qu'elle soit stochastique n'ajoute pas de conséquences supplémentaires ? (Elle dans mon cas je travaille avec des matrices stochastique par colonnes)
Que signifie "norme de z"_{\infty}=1?
Merci beaucoup je vais de toute manière essayer de me dépatouiller, est-il aussi possible d'utiliser Cauchy Schwartz ?

aviateur
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par aviateur » 24 Oct 2018, 15:44

Les Russes multiplient par les vecteurs à gauche. Dans le secondaire j'en sais trop rien mais j'ai l'impression qu'on multiplie à la Russe pour les stochastiques. De toute façon ici M est symétrique
alors ça change rien.

PTJules
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par PTJules » 24 Oct 2018, 15:50

Euh ok !
En spé on traite pas des matrices stochastique donc c'est une découverte pour moi :/
Quoi qu'il en soit je suis pas certain d'avoir suivi entièrement votre raisonnement du dessus, en quoi l'inégalité triangulaire me donne Sp(M) inclu dans [-1,1] ? je vais le reprendre a tête reposée, merci beaucoup :)

aviateur
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par aviateur » 24 Oct 2018, 16:20

Pour l'inégalité triangulaire revois mon message j'ai fait une erreur de frappe que j'ai corrigée.
C'est pour cela que tu ne comprend pas peut être.
Tu a z=.... donc |z|\leq ..... c'est assez facile

PTJules
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par PTJules » 24 Oct 2018, 18:31

||u||_{\infty}=1
Je ne comprends pas cette écriture :/

PTJules
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par PTJules » 24 Oct 2018, 18:32

La norme de ce vecteur est égale a 1 ?

PTJules
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par PTJules » 24 Oct 2018, 18:35

De même pour|z|\leq

aviateur
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Re: Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

par aviateur » 24 Oct 2018, 20:16

Si tu prends un vecteur propre (non nul évidemment) tu peux toujours le remplacer par un vecteur proportionnel.
exemple si v=(2,-3, 1) le vecteur u=1/(-3)v=(-2/3,1,1/(-3)). Sa + grand composante en module vaut 1 et c'est la deuxième.
tu as Mu = z u et tu regardes la deuxième ligne ...

 

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