Espaces euclidiens.

[Sylar]

Oui merci ,mais y a un truc dans la correction différent de mon exo :

(f(a)/f(y))-(a/y)=0 car f automorphisme.
Or ,je n'ai pas cette hypothèse.....

[yos]

voir exos 29 et 39 de cette page

Les hypothèses de ces exos sont plus fortes. Dans le premier, on suppose que f est une projection, dans le second que f est orthogonale.

[Sylar]

exact ....

[loulou51]

bonjour... voici peut etre une reponse à l'énoncé suivant(un peu complété...) mais ca doit etre le meme probleme...

Soit E euclidien, f endomorphisme tq |||f|||<=1
1/calculer ||f(x+ky)||²
Deduire ker(f-id) orthogonal a Im(f-id)
2/Mq ils sont en somme directe
3/Mq 1/p(somme sur k de 0 à p-1 de f puissance k) admet une limite pour p infini.
(puissance=pour la composition naturelmment)

1/
||f(x+ky)||²=||f(x)||²+2k+k²||f(y)||²
et grace à la propriété sur la norme subordonnée,
||f(x+ky)||<=||x+ky||² = ... en developpant
on obtient donc une inégalité en combinant ces deux expressions.

On choisit ensuite x dans ker(f-id) --> f(x)=x

En réarrangeant les termes on obtient un trinome en k, sans terme constant, et ce trinome est de signe constant.
2k+k²(||y||²-||f(y)||²)<=0

Il faut donc annuler le terme en k, ce qui donne
=0 cqfd pour l'orthogonalité

2/se déduit du thm du rang + du fait que l'on ait montré l'orthogonalité

3/question la + sympa(enfin je trouve...)
soit u dans le ker(f-id) et v dans im(f-id), cad v=f(w)-w

on note Gp la somme de l'énoncé.
Gp(u)-->u
et Gp(v) = (1/p)(somme de f puissance k de v)
= (1/p)(somme de ((f puissance k+1 de w)-(f puissance k de w)))
dou une petite sommation en dominos et :
Gp(v)=1/p ((f puissance p de w)-w)

conclusion, en passant à la norme ||Gp||->0

Alors Gp tend vers le projecteur orthogonal sur ker(f-id)


bonne soirée :dodo:

[Sylar]

2k+k²(||y||²-||f(y)||²)<=0

Jusqu'ici j'ai compris , mais ensuite je vois pas comment montrer:


=0 cqfd pour l'orthogonalité...........

[manelle]

Bravo Loulou , il suffisait d'y penser , Kazeriahm avait bien soufflé l'idée dès le message 2 mais cela restait un peu obscur ...

[loulou51]

tu otbiens un polynome de degré 2 ak²+bk+c , sans coefficient constant, et le polynome ne doit pas changer de signe. Donc le discriminant doit etre négatif ou nul.
or le discriminant c'est b²-4ac=b² puisque c est nul...
donc la condiction cherchée est b=0

or on avait trouvé b =
donc si ce produit scalaire est nul, comme xest dans le ker de f-id, et que z=y-f(y) est dans l'im de f-id, et comme le produit scalaire est nul, ca montre que tout element de l'un est orthogonal a un element de l'autre, donc qu'ils sont orthogonaux...

[Sylar]

Ah ok merci.