Espaces euclidiens.

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sarmate
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par sarmate » 25 Juin 2007, 23:47

yos a écrit:Là j'ai du mal avec ton détour.
et c'est tout.




On vient de montrer que pour tout n, donc dans la somme tu remplace les puissances de f par x, il y en a (n+1)



sarmate
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par sarmate » 25 Juin 2007, 23:50

kazeriahm a écrit:
Comment on montre que la fonction limite est linéaire ?




On peut voir que le sev des polynômes d'un endomorphisme est un fermé (en tant que sev) donc une limite de polynômes d'un endomorphisme est un polynôme d'endomorphisme, en particulier linéaire.

Je précise que tout cela est en dimension finie.

yos
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par yos » 25 Juin 2007, 23:50

Je crois qu'il y a pas de problème khazeriam :
donc

le premier terme tend vers 0, le second vers , donc tend vers , donc tend vers la projection sur le ker parallèlement au Im.
Je rate un truc?

kazeriahm
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par kazeriahm » 25 Juin 2007, 23:56

yos a écrit:Je rate un truc?


Je crois sauf si c'est moi qui me tape un délire...

l'argument c'est que la fonction g limite, supposée linéaire, se comporte sur une base de E comme le projecteur sur... Donc ces deux fonctions sont égales.

Ma question est, pourquoi g est linéaire ? Mais l'argument de sarmate est bon je crois

sarmate
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par sarmate » 25 Juin 2007, 23:58

kazeriahm a écrit:
Ma question est, pourquoi g est linéaire ? Mais l'argument de sarmate est bon je crois


C'est le même argument qui te démontre que l'exponentielle d'un endomorphisme est un polynôme en l'endomorphisme. (en dimensio finie encore une fois...)

yos
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par yos » 26 Juin 2007, 00:01

Mais ici on la trouve la limite : on découvre que c'est un projecteur, or un projecteur est linéaire.

Sylar
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par Sylar » 26 Juin 2007, 00:01

BON pour l'image j'ai calculeé et j'obtiens:
x=f(y)-y

g_n(x)=(1/n+1) *[-y+f^n(y)] et la je suis bloqué....

yos
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par yos » 26 Juin 2007, 00:08

Le numérateur a une norme inférieure à 2N(y) donc ta fraction a une norme qui tend vers 0, donc ta fraction tend vers .

Sylar
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par Sylar » 26 Juin 2007, 00:11

Ok merci Yos ,ca provient de : N(f(y))= N(f^n(y))=

sarmate
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par sarmate » 26 Juin 2007, 00:19

yos a écrit:Mais ici on la trouve la limite : on découvre que c'est un projecteur, or un projecteur est linéaire.



Je suis d'accord avec toi c'est plus simple que ce que j'ai énoncé, mais ce que j'avais dit est un procédé plus général donc réutilisable.

yos
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par yos » 26 Juin 2007, 00:21

Sylar a écrit:Ok merci Yos ,ca provient de : N(f(y))= N(f^n(y))=<y ?

Oui c'est bon.

kazeriahm
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par kazeriahm » 26 Juin 2007, 00:45

mais je comprends pas pourquoi tu me dis que c'est un projecteur ?!

je ne comprends pas :

elle conicide avec le projecteur sur Ker et sur Im. Pourtant ce n'est pas suffisant pour conclure, il y a bien d'autres vecteurs dans E.

sarmate
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par sarmate » 26 Juin 2007, 00:48

kazeriahm a écrit:mais je comprends pas pourquoi tu me dis que c'est un projecteur ?!

je ne comprends pas :

elle conicide avec le projecteur sur Ker et sur Im. Pourtant ce n'est pas suffisant pour conclure, il y a bien d'autres vecteurs dans E.


La première question était que ker et Im de f-Id était en somme directe et qui plus est orthogonaux, donc on a même un projection orthogonale.

Sylar
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par Sylar » 26 Juin 2007, 00:49

Peut etre parce que :f^n(x)=x => f^2(x)=f(x) => f=f^2

yos
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par yos » 26 Juin 2007, 01:00

Kazeriahm, regarde mon message 23 : je pars de x quelconque et je constate que g_n(x) converge vers le projeté de x sur ... parallèlement à ...



sarmate a écrit:La première question était que ker et Im de f-Id était en somme directe et qui plus est orthogonaux, donc on a même un projection orthogonale.

J'attends toujours la preuve de ça. La question initiale ne précisait pas "orthogonale" (même si je suis d'accord que c'est vrai); Je pense qu'il faut partir de x dans , donc de x=f(t)-t et f(x)=x. Puis il faut prouver que x=0, ce que je pensais faire en calculant afin d'utiliser l'hypothèse , mais je n'ai pas abouti.

sarmate
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par sarmate » 26 Juin 2007, 01:04

yos a écrit:Kazeriahm, regarde mon message 23 : je pars de x quelconque et je constate que g_n(x) converge vers le projeté de x sur ... parallèlement à ...




J'attends toujours la preuve de ça. La question initiale ne précisait pas "orthogonale" (même si je suis d'accord que c'est vrai); Je pense qu'il faut partir de x dans , donc de x=f(t)-t et f(x)=x. Puis il faut prouver que x=0, ce que je pensais faire en calculant afin d'utiliser l'hypothèse , mais je n'ai pas abouti.


Je n'arrive tjs pas à démontrer que la somme est directe... Je penchais plutôt d'essayer de démontrer que les ensembles étaient orthogonaux, mais j'ai du mal... On peut essayer aussi Im(f-Id)=Im(f-Id)^2, mais je ne vois pas l'aspect euclidien là dedans, ni l'utilisation de l'hypothèse sur la norme...

kazeriahm
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par kazeriahm » 26 Juin 2007, 01:07

ok yos sorry

Sylar
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par Sylar » 26 Juin 2007, 01:12

Je n'arrive toujours pas ,aussi,a montrer que la somme est directe. :hum: :hum:

B_J
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par B_J » 26 Juin 2007, 02:16

Salut ;
Sylar a écrit:E est un espace vectoriel euclidien de dimension n, muni d'une base orthonormale directe. f est un endomorphisme de E tel que :
N(f(x))=<N(x).
.Montrer que : E=Im(f-Id_E) [supplémentaire] Ker(f-Id_E).

Merci...

voir exos 29 et 39 de cette page

fahr451
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par fahr451 » 26 Juin 2007, 02:39

oùkecablokerait ?

une limite simple d'une suite d'applications linéaires est linéaire

 

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