Espaces euclidiens

par **jeje56** » 23 Jan 2007, 14:25

Quelle est la matrice, ds la base canonique, de la projection orthogonale de l'espace euclidien usuel R^4 sur le plan P engendré par les vecteurs (0111) et (0101) ?
J'ai pour indication de trouver une base orthonormée de P ds un premier tps, mais je ne vois pas du tout pr quoi fR ensuite... Qq1 aurait-il des pistes ? Merci !

par **fahr451** » 23 Jan 2007, 14:30

bonjour

si (e'1 , e'2) est une bon de ton plan P la projection orthogonale de x sur P est

p(x) = e'1 +e'2

< ,> étant le produit scalaire. et il suffit de le faire pour x = e1 ,...,e4 les 4 vecteurs de la base canonique pour avoir la matrice.

par **Quidam** » 23 Jan 2007, 14:38

jeje56 a écrit:Quelle est la matrice, ds la base canonique, de la projection orthogonale de l'espace euclidien usuel R^4 sur le plan P engendré par les vecteurs (0111) et (0101) ?
J'ai pour indication de trouver une base orthonormée de P ds un premier tps, mais je ne vois pas du tout pr quoi fR ensuite... Qq1 aurait-il des pistes ? Merci !

Soient

et

tes deux vecteurs orthonormés de P. Soit M un point de

, M' sa projection sur P :
On a :

non ?

par **jeje56** » 23 Jan 2007, 14:49

fahr451 a écrit:bonjour

si (e'1 , e'2) est une bon de ton plan P la projection orthogonale de x sur P est

p(x) = e'1 +e'2

étant le produit scalaire. et il suffit de le faire pour x = e1 ,...,e4 les 4 vecteurs de la base canonique pour avoir la matrice.

Je ne vois pas trop l'égalité p(x) = e'1 +e'2, j'aurais plutot dit : x = e'1 +e'2 ? Cette dernière égalité est peut etre le cas particulier ou x appartient à P non?...

par **fahr451** » 23 Jan 2007, 14:56

tu confonds

on complète la bon de P en une bon de R^4

(e'1 ,e'2,e'3,e'4) on a bien pour tout x dans R^4

x = e'1+e'2+ e'3+e'4

la cbl des deux premiers est dans P la cbl des deux derniers est dans P orthogonal donc la projection orthogonale de x sur P est bien la cbl des deux premiers

REM il est donc inutile de déterminer e'3 et e'4.

par **jeje56** » 23 Jan 2007, 15:02

Oui exact j'ai compris ;-) merci bcp !

par **jeje56** » 23 Jan 2007, 15:32

Je reviens sur la matrice cherchée... matrice "ds la base canonique" de la projection orthogonale sur P : c'est bien les vecteurs colonnes de la base canonique exrprimés ds la base orthonormée de P? Merci !

par **fahr451** » 23 Jan 2007, 15:38

non
la base canonique étant (e1,...,e4)

c'est p(ei) exprimé en fonction de e1,...,e4
mais c'est facile car p(ei) s'écrit avec la formule en fonction de e'1 et e'2 et e'1, e'2 en fct de e1,...,e4

par **jeje56** » 23 Jan 2007, 16:00

Oui dac thanks

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