Espaces euclidiens.

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 18:11

Bonjour,je bloque sur cet exercice:

D'après Oral Centrale. E est un espace vectoriel euclidien de dimension n, muni d'une base orthonormale directe. f est un endomorphisme de E tel que :
N(f(x))=.Montrer que : E=Im(f-Id_E) [supplémentaire] Ker(f-Id_E).

Merci...

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 18:24

montrer que les deux ensembles sont orthogonaux, avec une démo à la Cauchy Schwarz

par **fahr451** » 25 Juin 2007, 18:25

y a une suite classique

trouver la limite simple de

(id +f+...+f^n)/(n+1)

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 18:36

Ok merci fahr je vais d'abord essayer la 1/

Au fait kazeriam pourquoi montrer qu'ils sont orthogonaux?
On veut supplémentaires....

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 18:38

si tu montres qu'ils sont orthogonaux alors la somme est directe et ils sont supplémentaires par le th du rang (tu es dans un euclidien donc il y a forcèment une histoire de produit scalaire)

oui d'ailleurs fahr je sais pas si tu te rapelles mais j'avais posé un post avec la suite que tu proposes mais l'hypothese c'était que (u^n(x)) est bornée pour tout x

par **fahr451** » 25 Juin 2007, 18:44

ce qui est le cas ici

lll f lll =< 1

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 18:58

avec une démo à la Cauchy Schwarz

Je vois pas comment adapter ici.

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 19:54

J'ai peut-être une réponse pour toi Sylar.

On cherche donc à montrer que ker(f-Id) et Im(f-Id) sont orthogonaux pour pouvoir conclure.

On prend f(x)-x dans Im(f-Id) et y=f(y) dans Ker(f-Id), et on regarde leur produit scalaire :

(f(x)-x,y)=(f(x),f(y))-(x,y))=<||f(x)+f(y)||^2-||f(x)-f(y)||^2-||x+y||^2-||x-y||^2 (on oublie les 1/4 de la formule)

Par l'inégalité que vérifie la norme on obtient que :

(f(x)-x,y)=<0 pour tout x dans E, et pour tout y dans ker(f-Id).

Or Kef(f-Id) est un sevd e E, donc si y est dans Ker(f-Id) -y également et donc :

-(f(x)-x,y)=<0, ce qui nous donne que (f(x)-x,y)=0.

A vérifier tout de même je ne me suis pas relu...

par **yos** » 25 Juin 2007, 20:26

sarmate a écrit: (f(x)-x,y)=(f(x),f(y))-(x,y))=<||f(x)+f(y)||^2-||f(x)-f(y)||^2-||x+y||^2-||x-y||^2 (on oublie les 1/4 de la formule)
A vérifier tout de même je ne me suis pas relu...

Moi j'ai relu! Erreur de signe et le reste tombe également.

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 20:41

yos a écrit:Moi j'ai relu! Erreur de signe et le reste tombe également.

J'ai écrit un - à la place d'un plus.

Il fallait lire :

(f(x)-x,y)=(f(x),f(y))-(x,y))=<||f(x)+f(y)||^2-||f(x)-f(y)||^2-||x+y||^2+||x-y||^2

Mais tu as raison, seul disparait ||f(x)+f(y)||^2-||x+y||^2.

Comment ai-je fait pour oser enlever le reste...?

Mais je vois que tu as tjs une relecture critique Yos... heureusement...

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 21:29

Merci ....

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 21:33

Sylar a écrit:Merci ....

de rien, mais j'ai rien fait...

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 21:59

trouver la limite simple de

(id +f+...+f^n)/(n+1)

Quelqu'un aurait une idée pour cette question?

par **yos** » 25 Juin 2007, 22:11

Je pose

Que dire de

lorsque

?
Que dire de

lorsque

?

Si quelqu'un peut m'indiquer la première question?

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 22:35

Que dire de g_n(x) lorsque x\in Ker(f-Id)?

Alors ,on a :f(x)=x par itération on obtient:

g_n(x)=x suite constante égale a x.
Je demande confirmation ;merci.....

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 22:35

yos a écrit:Je pose
Que dire de lorsque ?
Que dire de lorsque ?

Si quelqu'un peut m'indiquer la première question?

Donc si x est dans Ker(f_Id), on a que

et ceci pour tout n, donc :

et ainsi la suite et constante et vaut x pour tout x dans Ker(f-Id)

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 22:36

C'est ce que j'ai trouvé ;mais pour l'image je vois pas trop.....

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 22:40

je me demandais un truc :

on trouve le comportement de la fonction limite sur la décomposition Ker + Im.
Ceci nous donne le comportement de cette fonction sur E tout entier à condition qu'elle soit linéaire (enfin plus précisèment après on identifie la fonction limite à une autre fonction connue).

Comment on montre que la fonction limite est linéaire ?

En disant que L(E) de dimension finie donc complet ?

Mais après ... on se remord la queue parcequ'on ne sait pas si la suite "converge vraiment", je sais pas si vous voyez ce que je veux dire

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 22:42

si y est dans Im(f-id), il existe x tel que y=f(x)-x

calcule f^k(y) ?

par **yos** » 25 Juin 2007, 22:43

sarmate a écrit:

Donc si x est dans Ker(f_Id), on a que et ceci pour tout n, donc :

et ainsi la suite et constante et vaut x pour tout x dans Ker(f-Id)

Là j'ai du mal avec ton détour.

et c'est tout.

Par contre l'égalité

que tu indiques est aussi vraie dans l'autre sens :

et c'est ce qu'il faut utiliser pour le cas

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