Matrice Stochastique et espaces Euclidiens

[PTJules]

Bonjour, petite question pour un dm :
Soit S une matrice stochastique et symétrique :
En vous appuyant sur le cours sur les espaces prehilbertiens (et Euclidiens) justifier quelle est diagonale et que son spectre est inclu dans l'intervalle [-1;1]...
Et ensuite je dois avec l'endomorphisme associé a S noté f, montrer que l'espace vectoriel d'équation cartésienne x1+...+xn=0 est stable par f..
Impossible de tomber sur la dite propriété
Merci !

[aviateur]

Tu veux surement dire diagonalisable. Elle l'est puisque c'est un résultat bien connu d'algèbre que une matrice symétrique à coefficient réels est diagonalisable (dans R).
Désignons par cette matrice.
Soit une valeur valeur propre est u un vecteur propre correspond tel que ||u||_{\infty}=1.
Soit i la ligne telle que
On a et tu appliques l'inégalité triangulaire pour obtenir le résultat

Evidemment u=(1,1,...,1)^t est un vecteur propre pour la valeur propre 1.
L'espace en question est l'orthogonal de u. On en déduit que cette espace est stable par f (toujours parce que M est sym à coeff rél).

Pour mémoire cela vient de v^t.u=0 alors
( )

[PTJules]

Oui oui diagonalisable ! (Correction automatique de mon téléphone)
Ok, mais le fait qu'elle soit stochastique n'ajoute pas de conséquences supplémentaires ? (Elle dans mon cas je travaille avec des matrices stochastique par colonnes)
Que signifie "norme de z"_{\infty}=1?
Merci beaucoup je vais de toute manière essayer de me dépatouiller, est-il aussi possible d'utiliser Cauchy Schwartz ?

[aviateur]

Les Russes multiplient par les vecteurs à gauche. Dans le secondaire j'en sais trop rien mais j'ai l'impression qu'on multiplie à la Russe pour les stochastiques. De toute façon ici M est symétrique
alors ça change rien.

[PTJules]

Euh ok !
En spé on traite pas des matrices stochastique donc c'est une découverte pour moi
Quoi qu'il en soit je suis pas certain d'avoir suivi entièrement votre raisonnement du dessus, en quoi l'inégalité triangulaire me donne Sp(M) inclu dans [-1,1] ? je vais le reprendre a tête reposée, merci beaucoup

[aviateur]

Pour l'inégalité triangulaire revois mon message j'ai fait une erreur de frappe que j'ai corrigée.
C'est pour cela que tu ne comprend pas peut être.
Tu a z=.... donc |z|\leq ..... c'est assez facile

[PTJules]

||u||_{\infty}=1
Je ne comprends pas cette écriture

[PTJules]

La norme de ce vecteur est égale a 1 ?

[PTJules]

De même pour|z|\leq

[aviateur]

Si tu prends un vecteur propre (non nul évidemment) tu peux toujours le remplacer par un vecteur proportionnel.
exemple si v=(2,-3, 1) le vecteur u=1/(-3)v=(-2/3,1,1/(-3)). Sa + grand composante en module vaut 1 et c'est la deuxième.
tu as Mu = z u et tu regardes la deuxième ligne ...