Matrice, noyau, rang

[Bourasland]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir de l'aide pour une question.
Voici l'énoncé :

Trouver le rang et le noyau de l'endomorphisme de dans dont la matrice relative à la base canonique s'écrit :



donc moi j'ai trouvé,
c'est-à-dire, dim(Ker u)=4-2=2
après, on pour trouver le noyau il faut faire un système :


mais je ne trouve pas les solutions..., est ce évident? ou le système est faux ?

[Babe]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir de l'aide pour une question.
Voici l'énoncé :

Trouver le rang et le noyau de l'endomorphisme de dans dont la matrice relative à la base canonique s'écrit :



donc moi j'ai trouvé,
c'est-à-dire, dim(Ker u)=4-2=2
après, on pour trouver le noyau il faut faire un système :


mais je ne trouve pas les solutions..., est ce évident? ou le système est faux ?

un systeme à 2 equation avec 4 inconnues ca va etre dur de trouver les solutions...
pk enlevé les 2 dernieres equations, garde les 4 equations et le tour est joué

[Bourasland]

oui mais il y a 2 équations identiques dans les 4...
ça donne ça :

[fatal_error]

Bonjour,

tu n'as qu'a trouver deux vecteurs non liés qui remplissent les deux equations.

mettons avec (2): (alpha,1,-1,1)
avec (1) alpha-1-1*-1+2*1=0 =>alpha =-2

Pour le second, avec (2) mettons (beta,1,0,-1)
pis avec (1):beta+1-0-2*1 => beta=1

Comme t'as dim ker =2 alors, faut trouver deux vecteurs non liés. La i sont libres parce que ya un zero dans le vecteur 2 pas au même endroit que dans le vecteur 1.

[alavacommejetepousse]

bonjour
ce que dit fatal error est bien

on peut aussi résoudre ce système (quoi qu 'en dise babe) en écrivant par exemple
x1 et x2 en fonction de x3 et x4 ce qui donne X comme cbl de deux vecteurs et une base de kerM

[Bourasland]

désolé mais je n'est pas très bien compris votre méthode, en fait vous voulez qu'on pose des et pour que ça marche ?

et je n'est pas compris aussi le et le

Pourriez vous me réexpliquer clairement, je suis désolé...

:triste:

[Nightmare]

Salut :happy3:

Ton kernel est de dimension 2, c'est un plan vectoriel. Comme tout bon plan vectoriel qui se respecte, il est engendré par 2 de ses vecteurs non colinéaires. Il te suffit donc de trouver 2 vecteurs de ton noyau.

[Bourasland]

mais il y a plusieurs solutions non?
Pourquoi il demande calculer noyau...

donc si j'ai bien compris, comme la dimension du noyau est 2.
Il y a deux coordonnées sur les 4 qui seront nuls ( ou )
Le noyau s'écrira donc :


non?

mais il faut que je trouve des coordonnées qui marchent c'est tout ?

[Nightmare]

Il y a plusieurs solutions à quoi? Je ne comprends pas ta question...

[Bourasland]

comment fais t'on pour trouver une solution unique à ce système?


.
.
.

comme le noyau est de dimension 2, il est engendré par deux vecteur, donc il faut bien qu'il y ait 2 des vecteurs sur les 4 qui soient nuls, mais comment on fait pour trouver ...
On prend des coordonnées "au pif" qui marche ? ou on les calcul...

[fatal_error]

Le noyau, c'est lensemble des vecteurs X tels que MX = 0
Si dim ker u (M représente u)=2, ca veut dire qu'il existe une base de dimension 2 telle que tt vecteur X solution de MX=0 se decompose dans cette base.

Concernant la 'solution unique', cad quatre inconnues quatre equations, tu l'obtiendrais (pe) (des fois yen a pas) si tes eq netaient pas liées.

C'est du moins ce que j'ai compris. :happy2:

[Bourasland]

ça OK !

mais donc comment je fais pour répondre à la question:
" Trouver le noyau " ?
Il faut bien que j'écrive à la fin de ma copie,

Ker u = Vect

[Nightmare]

Vu qu'il est de dimension 2, il va plutôt falloir écrire

Et pour cela on revient au système :



La deuxième ligne donne
En injectant dans la première on obtient :

ie :


Soit un vecteur du noyau.
D'après ce qu'on vient de dire, il s'écrit alors

On obtient donc

[Bourasland]

OK j'ai compris.

mais j'avais jamais écrit auparavant vect(| , | ) (avec 2 vecteurs...)

[Nightmare]

Donc pour toi n'importe quel espace était engendré par un seul élément? Pas mal :lol3: