DM maths

par **vivelespcsi** » 22 Oct 2015, 14:53

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour la rentrée mais je bloque sur certaines questions

1) Calculer l'intégrale suivante: x*Arctan(x-1/x+2) dx
j'ai commencé à faire mon intégration par partie: en prenant u'(x)= x u(x)=x²/2 v'(x)= 3/(x+2)²*(x+2)²/(x-1)² v(x)=arctan(x-1/x+2)
[intégrale de] x*Arctan(x-1/x+2) dx=
[x²/2*Arctan(x-1/x+2)- [intégrale de] x²/2 *3/(X+2)²* (x+2)²/(x-1)² dx
=[x²/2*Arctan(x-1/x+2)- [intégrale de] x²/2 * 3/(x-1)² dx
=[x²/2*Arctan(x-1/x+2)- [intégrale de] 3x²/2*(x-1)² dx

mon problème est pour trouver une primitive de 3x²/2*(x-1)²....
Déjà est-ce que la dérivée de arctan(x-1/x+2) est juste? (j'ai vérifier une deuxième fois et je retrouve le même résulat mais onn est jamais à l'abri d'une erreur...)

puis je dois résoudre des équations différentielles:
1) (1+x²)y'+xy=1 pour celle je pensais avoir réussi mais j'ai dû me trompé dans la primitive de x/(1+x²), j'ai trouvé comme primitive: ln(1+x²)/2, est-ce juste?

J'ai une question par rapport aux intervalles dans lesquels on résout les équa diff, par exemple
(1-x)y'+y=(x-1)/x dans ce cas là on la résout sur R\{1}? donc je dois faire deux résolutions sur
]-oo;1[ et ]1;+oo[? donc avec x négatif et x positif?

2) sin(x)y'-y=sin²(x/2)
j'ai résolu l'équation homogène je trouve: {x-> [lambda]/ tan(x/2)| [lambda appartenant à R]

ensuite je cherche un solution particulière et j'arrive (au moment où il faut remplacer y1 et y1' par ce qu'on a trouvé) à:

[lambda]'(x)*tan(x/2)-[lambda]*(1/2+(1/2)*tan²(x/2)- [lambda]/tan(x/2)/sin(x) = sin²(x/2)

sauf que je ne vois pas comment simplifier [lambda]/tan(x/2)/sin(x)...

merci d'avance pour l'aide

par **mathelot** » 22 Oct 2015, 15:25

puis faire une division euclidienne
puis intégrer 1 en x

en log
et le reste en arctangente

Wolfram

par **mathelot** » 22 Oct 2015, 15:43

pour la (2.1)
l'équation est à variables séparées et s'intègre avec une quadrature:

B,K sont des constantes d'intégration.

ensuite faire varier la constante pour obtenir une solution particulière

par **MouLou** » 22 Oct 2015, 15:53

Pas mal ce site je connaissais pas!

par **mathelot** » 22 Oct 2015, 15:55

pour la (II.2)

soit

puis variation de la konstante

la variation de la constante donne

par **vivelespcsi** » 23 Oct 2015, 08:51

mathelot a écrit:

puis faire une division euclidienne
puis intégrer 1 en x
en log
et le reste en arctangente

Wolfram

j'ai réessayé de refaire la primitive de 3x²/[(x+2)²+(x-1)² ] mais je n'arrive pas à retrouver le même résultat...

par **vivelespcsi** » 23 Oct 2015, 08:56

[/quote]

de plus j'ai trouvé que c'était: (1/2) [intégrale de] 3x²/(2x²+5) ( car c'est x-1 pas +)

par **vivelespcsi** » 23 Oct 2015, 09:18

mathelot a écrit:pour la (2.1)
l'équation est à variables séparées et s'intègre avec une quadrature:

B,K sont des constantes d'intégration.

ensuite faire varier la constante pour obtenir une solution particulière

d'accord merci pour l'aide! j'ai réussi à obtenir les solutions de l'équa diff

par **mathelot** » 23 Oct 2015, 11:42

vivelespcsi a écrit:
J'ai une question par rapport aux intervalles dans lesquels on résout les équa diff, par exemple
(1-x)y'+y=(x-1)/x dans ce cas là on la résout sur R\{1}? donc je dois faire deux résolutions sur
]-oo;1[ et ]1;+oo[? donc avec x négatif et x positif?
merci d'avance pour l'aide

on résout sur l'ouvert non connexe

on essaye ensuite de raccorder les solutions à la main pour avoir une solution maximale définie sur

par **mathelot** » 23 Oct 2015, 11:46

vivelespcsi a écrit:

de plus j'ai trouvé que c'était: (1/2) [intégrale de] 3x²/(2x²+5) ( car c'est x-1 pas +)[/quote]

par **vivelespcsi** » 23 Oct 2015, 12:22

mathelot a écrit:de plus j'ai trouvé que c'était: (1/2) [intégrale de] 3x²/(2x²+5) ( car c'est x-1 pas +)

[/quote]

pourquoi avoir mis 2x²+5 en rouge?

je ne vois pas le rapport entre la dérivée de arctan(u) et l'intégrale de 3x²/(2x²+5)?

par **mathelot** » 23 Oct 2015, 12:29

vivelespcsi a écrit:

pourquoi avoir mis 2x²+5 en rouge?

je ne vois pas le rapport entre la dérivée de arctan(u) et l'intégrale de 3x²/(2x²+5)?[/quote]

par **vivelespcsi** » 23 Oct 2015, 13:17

OK donc si j'ai bien compris tu as séparé l'intégrale de x²/(2x²+2x+5) en 2. Mais j'ai une question: pourquoi ce n'est pas moins (3/4) *l'intégrale de (2x+5)/(2x²+2x+5) à la cinquième ligne?

par **mathelot** » 23 Oct 2015, 13:56

vivelespcsi a écrit:OK donc si j'ai bien compris tu as séparé l'intégrale de x²/(2x²+2x+5) en 2. Mais j'ai une question: pourquoi ce n'est pas moins (3/4) *l'intégrale de (2x+5)/(2x²+2x+5) à la cinquième ligne?

pour que les quantités soient opposées, initialement, on a un facteur -3/4 devant la 1ere intégrale

par **mathelot** » 23 Oct 2015, 14:04

ça y est, j'ai finalisé l'intégration (cf supra)

par **vivelespcsi** » 23 Oct 2015, 15:40

D'accord merci beaucoup pour l'aide! si j'ai d'autres questions je vous demanderai

par **vivelespcsi** » 24 Oct 2015, 08:25

Bonjour,

je suis en train de faire une équa diff et j'ai besoin d'une primitive de sqrt(x²+1) et je voulais savoir si ma démarche est la bonne.

sqrt(x²+1)= (x²+1)^(1/2) et une primitive de x^n= x^(n+1)/(n+1)

donc une primitive de (x²+1)^(1/2) est (x²+1)^(3/2)*(2/3)?

par **mathelot** » 24 Oct 2015, 08:51

bonjour,

ce qui se primitive en puissance est

de la forme

pour calculer

poser

(sinus hyperbolique de u)

ensuite linéariser.

par **vivelespcsi** » 24 Oct 2015, 12:46

mathelot a écrit:bonjour,

ce qui se primitive en puissance est

de la forme

pour calculer

poser (sinus hyperbolique de u)

ensuite linéariser.

comment as-tu vu qu'il fallait poser x= sh(u)?

par **mathelot** » 24 Oct 2015, 13:42

vivelespcsi a écrit:comment as-tu vu qu'il fallait poser x= sh(u)?

quand on a

on pose x=sin(u)
car

là c'est pareil avec

car

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