Inversible

[zork]

Bonjour,

G=U(Z/20Z) les éléments inversibles de Z/20Z et G muni de la loi x

Je trouve que G est d'ordre 8 et G={1*,2*,4*,5*,10*,15*,16*,18*}

a) calculer l'ordre de chaque éléments de G
Pour cette question, je suis censé mulltiplier tous les éléments de G jusqu'à trouver le neutre 1? Parce que ca semble long

b) montrer que G n'est pas cyclique
je sais qu'un groupe cyclique est abélien et monogène. Ici abélien est vérifié mais comment montrer que G n'est pas homogène :hein:

merci

[leon1789]

Tu t'es trompé pour le groupe des inversibles de Z/20Z.
Par exemple, 2 ne peut pas être inversible car 2 . 10 = 0
Reprends la définition d'un inversible "dans Z/20Z" puis traduis-là "dans Z".

[zork]

U(z/20z)={1*,3*,7*,9*,11*,13*,17*,19*}

et les même questions

[leon1789]

Tu as trouvé 1 mod 20 quand tu as fait le produit des éléments de G ?

[zork]

oui,

j'ai trouvé les ordres des éléments
o(1*)=o(19*)=1
o(3*)=o(17*)=4
o(7*)=o(13*)=3
o(9*)=o(11*)=2

pour montrer que G n'est pas cyclique je montre qu'il n'est pas monogène:
G=
mais est ce juste de dire que o(a*) doit diviser l'ordre des éléments de G, si oui c'est bon

Pour finir, comment trouve-t-on les sous groupe de G d'ordre 4? si G était cyclique j'ai un théorème qui me permet de les trouver directement mais là je ne sais pas

[leon1789]

j'ai trouvé les ordres des éléments
o(1*)=o(19*)=1
o(3*)=o(17*)=4
o(7*)=o(13*)=3
o(9*)=o(11*)=2

/!\ Il y a toujours un seul élément d'ordre 1 : c'est l'élément neutre.

pour montrer que G n'est pas cyclique je montre qu'il n'est pas monogène:
G=
mais est ce juste de dire que o(a*) doit diviser l'ordre des éléments de G, si oui c'est bon

G = est équivalent à "ordre de a = ordre de G".
Vois-tu un élément dont l'ordre est égal au cardinal de G ?

Pour finir, comment trouve-t-on les sous groupe de G d'ordre 4?

Quels peuvent être les ordres des éléments d'un groupe d'ordre 4 ?

[zork]

zut erreur quand j'ai tapé, o(19)=2

du coup pour la question 2): aucun des élément de G n'a son ordre égal à celui de G donc G non cyclique

Pour la question 3):
les éléments d'un sous groupes de G d'ordre 4 doivent être d'ordre:1,2,4
si le sous groupe est d'ordre 4 c'est G lui même
Le sous groupe d'ordre 1 est {1*}
le sous groupe dont les éléments sont d'ordre 2: {11*,9*,19*}

mais à ce moment là, n'est il pas possible d'avoir un sous contenant des éléments d'ordre 1, 2? par exemple F={1,11*,9*,19*} ou bien F'={9*,1*}

[leon1789]

Pour la question 3):
les éléments d'un sous groupes de G d'ordre 4 doivent être d'ordre:1,2,4

oui

si le sous groupe est d'ordre 4 c'est G lui même

hein ??? :we: G est d'ordre 8...

Le sous groupe d'ordre 1 est {1*}

oui

Quels sont les sous-groupes d'ordre 2 ? (ces sous-groupes sont forcément cycliques)

Et enfin, d'ordre 4 ? (sous-groupes cycliques ou pas ...)

[zork]

oui j'ai dit une bêtise. G est d'ordre 8
du coup les éléments d'un sous groupe de G d'ordre 4 doivent être d'ordre: 1,2,4

sous groupe d'ordre 1:{1*}
sous groupe d'ordre 2:{1*,11*}, {1*,9*},{1*,11*}
sous groupe d'ordre 4:{1*,11*,9*,19*},{1,11*,9*,3*},{1*,11*,17*,3*},{1*,17*,3*,9*},{1*,11*,19*,3*},{1*,17*,19*,3*},...

n'y a-t-il pas une technique pour savoir exactement le nombre de sous groupe d'ordre 4 que je dois avoir?

[leon1789]

sous groupe d'ordre 1:{1*}
sous groupe d'ordre 2:{1*,11*}, {1*,9*},{1*,11*}

pour le dernier {1*, 19*}

sous groupe d'ordre 4:{1*,11*,9*,19*},{1,11*,9*,3*},{1*,11*,17*,3*},{1*,17*,3*,9*},{1*,11*,19*,3*},{1*,17*,19*,3*},...

/!\ il faut que l'ensemble soit stable par multiplication
par exemple {1*,11*,9*,3*} n'est pas stable car 9.3 = 7 modulo 20





Ce sera plus simple si tu prends l'écriture centrée de Z/20Z = {0*, 1* ..., 10*, -9* , ..., -1* }
ainsi G = {1*, 3*, 7*, 9*, -1*, -3*, -7*, -9*}

Conseil perso : penses à cette représentation centrée sur les exos à l'avenir, elle a souvent des avantages.

[zork]

que veux tu dire par stable?

que sont alors les sous groupe d'ordre 4?

[leon1789]

que veux tu dire par stable?

un ensemble G' est stable par multiplication lorsque pour tous , on a .
l'ensemble {1*, 3*, 9*, 7*} est stable par multiplication
l'ensemble {1*, 3*, 9*, 11*=-9*} n'est pas stable.


Il est classique de dire que G' est un sous-groupe lorsque G' est non vide et stable par multiplication et passage à l'inverse : => ( et )

Les sous-groupes d'ordre 4 de G sont les sous-ensembles ayant 4 éléments et stable par multiplication (car ensemble fini).

[zork]

je suis donc toujours obligé de faire la multiplication?

[leon1789]

Tu as déjà le(s) sous-groupe(s) cyclique(s) d'ordre 4.

Et ensuite, il faut regarder les sous-groupes non cycliques. Là, effectivement, il y a quelques (mais peu, je parie pour moins de 5) de multiplications à faire pour vérifier la (non-)stabilité.

[zork]

ok je te remercie pour ton aide j'ai compris