Inversible et matrice antisymetrique

[Azuriel]

Ma question est toute bete dans un exo on me demande de montrer qu'une matrice antisymetrique n'est pas inversible et meme si ça me parait un peu evident (sa trace est nulle) je ne sais pas comment le montrer surtout qu'il y a une indication dans l'énoncé assez etonnante, A appartient a Mn(R) antisymetrique mais n est impair..donc on doit sans doute relier ça au fait que ce n'est oas inversible mais je ne sais pas comment faire...Merci d'avance.

[Azuriel]

J'ai trouver en fait je crois ! Désolé pour le derangement.

J'ai utiliser DetA=det(t(A)) où t est la transposé.

On a donc det(A)=det(-A) puisque A est antisymetrique et en sortant grace a la n-lineartié le - de chque colonne on a alors det(A)= (-1)^ndetA donc si n est impari alors on a detA=-detA donc detA=0.

[ThSQ]

>> sa trace est nulle

Ca prouve rien ;)

1 0
0 -1

est de trace nulle ;)

[abcd22]

Bonjour,
Ta solution est bonne, par contre la raison qui te faisait trouver ça évident (la trace nulle) est fausse, il y a plein de matrices inversibles de trace nulle, et d'ailleurs la démonstration ne fonctionne pas en dimension paire, par exemple la matrice est antisymétrique et inversible, en mettant k fois cette matrice sur une diagonale on construit une matrice antisymétrique inversible de taille 2k pour tout k.

[Azuriel]

Merci de vos precision, en effet finalement je n'ai pas utiliser la trace nulle mais c'est bien d'avoir corrigé mes a priori ;).