Mn(K) et idéal bilatère

[simplet]

Bonjour, je suis bloqué dés la 1ere question de mon DM alors je demande un peu d'aide s'il vous plait...

Soient K un corps (commutatif), E un K-ev avec dim(E)=n, et l'anneau A=end(E) = Mn(K).

1ere question:
Soit I un idéal bilatère de A.
Montrer qu'il existe f de rang 1, dans I.

2eme question:
En déduire que tous les éléments de rang 1 sont dans I.

meerrcii beaucoup

[yos]

Il faut que ton idéal I ne soit pas trivial.
Prends une matrice M non nulle dans I. Alors pour toute matrice N de A, tu as MN dans I. Par quoi tu pourrais multiplier M pour que tu aies une matrice de rang 1?
Pour la seconde question, deux matrices de même rang sont équivalentes donc...

[simplet]

Une matrice W est de rang 1 si toutes ses colonnes sont combinaison linéaire d'une seule colonne, c'est ca? comme ca rgW=dim (ImW))=1 ... ok?

Si c'est ca ,alors en multipliant une matrice M par une matrice N, telle que cette derniere n'est que des 0 sauf sur la premiere ligne ou elle n'a que des 1, on a alors rg(MN)=1 ...?

[yos]

Tu n'es pas loin. C'est sûr qu'en multipliant M par une matrice N de rang 1, tu obtiens une matrice de rang 1 ou 0.
Donc il te faut t'adapter un peu plus à ta matrice M pour le choix de N.
Tu verras peut-être mieux en termes d'endomorphismes : l'endo f de matrice M dans la base (ei) est tel que au moins l'un des f(ei) est non nul, par exemple f(e1). Prends la projection p sur parallèlement à et sa matrice N. Alors MN est la matrice de fop et cette matrice est clairement de rang 1.

[simplet]

En fait en reprenant mon explication précédente, il faut que la ligne de N où on ne met que des 1, corresponde à la ligne de M qui est non nulle (on sait qu'il y en a au moins une). c'est ca?

Merci beaucoup en tout ca!

[Zebulon]

Soient K un corps (commutatif), E un K-ev avec dim(E)=n, et l'anneau A=end(E) = Mn(K).

1ere question:
Soit I un idéal bilatère de A.
Montrer qu'il existe f de rang 1, dans I.

2eme question:
En déduire que tous les éléments de rang 1 sont dans I.

meerrcii beaucoup

Salut,
tiens tiens... j'ai comme l'impression d'avoir déjà lu ce sujet... :we:
Bon courage.
A+

[yos]

En fait en reprenant mon explication précédente, il faut que la ligne de N où on ne met que des 1, corresponde à la ligne de M qui est non nulle (on sait qu'il y en a au moins une). c'est ca?

Merci beaucoup en tout ca!

...ligne de N où on ne met que des 1, corresponde à la colonne de M qui est non nulle.

[simplet]

oui oui, ce n'était juste qu'une erreur de frappe, dictée par la joie d'avoir trouvé la réponse :-)

En tout cas, yos et zebu, bon appetit!!

[yos]

En résumé, Mn(K) n'a pas d'idéal bilatère (non trivial). Qu'en est-il des idéaux à gauche? Ton DM dit des choses là-dessus?

[simplet]

oui oui, il aborde les ideaux bilateres, à gauche et a droite.
Par exemple pour les ideaux a gauche on definit dans la premiere question l'ensemble des éléments de end(E) tel que F, un ssev de E, soit compris dans leur noyau: c'est effectivement un ideal a gauche.
Puis suivent des questions melant algebre lineaire et ideaux.

Pour les ideaux a droite, on definit l'ensemble des elements de end(E) tel que F, un ssev de E, contienne leur image: et, contrairement a ce qu'on peut penser, il est plus difficile de montrer que c'est un ideal à droite (il faut apparement penser a etudier le dual de E... mais je n'y suis pas arrivé :-)

Si ce sujet t'interesse je pe te taper sous word les qqls questions suivantes si tu ve.

bonne soirée

[simplet]

(et tu as bien intuitionné la ou on voulais en venir: on montre ensuite que idE est dans I et donc I=A)

[yos]

Merci pour les infos.
Je vais y réfléchir. Inutile de taper le reste du sujet : je pense que c'est classique et que je dois avoir ça dans un bouquin d'algèbre.
Les idéaux à gauche du type AM où M est une matrice (idéaux principaux) sont non triviaux eux aussi je dirais.
C'est le genre d'exercice idéal (c'est le cas de le dire!) au coucher (en général je m'endors avant d'avoir trouvé quoi que ce soit).