Radical d'un idéal

[Dyo]

Bonsoir,

Je cherche une méthode (si ca existe) pour calculer le radical d'un idéal dans par exemple. Et si y'en a d'autres dans d'autres anneaux.

Voici les définitions:
Si est un idéal de (Anneau commutatif unitaire), alors le radical de est : tel que

Exemples:
Dans
- si alors
- si alors

Merci pour vos infos.

[yos]

Ca doit être où p(n) est le produit des facteurs premiers de n.

[abcd22]

Bonsoir,
Dans Z c'est facile : un idéal (non nul, différent de A) est de la forme aZ avec où les sont des nombres premiers distincts, le radical de aZ est (démonstration par double inclusion).
On a un résultat identique pour tous les anneaux principaux, et il y a aussi un résultat général disant que le radical d'un idéal propre I est l'intersection des idéaux premiers de A contenant I (qui n'est pas toujours aussi facile à calculer que dans Z).

[leon1789]

Je cherche une méthode (si ca existe) pour calculer le radical d'un idéal dans par exemple. Et si y'en a d'autres dans d'autres anneaux.

Dans Z, il n'y a pas de méthode efficace (tout est relatif) pour calculer la partie sans facteur carré d'un entier.
(dans un anneau principal, partie sans facteur carré de x = radical de x)

Dans Q[X], c'est facile car on peut dériver (chose impossible dans Z).

Mais c'est compliqué de manière générale.

Edit :
Par contre, dans des anneaux variés, on peut efficacement tester si un élément appartient au radical.

[Dyo]

Ok merci beaucoup pour vos réponses.

Sinon pour montrer que est un idéal, je bloque pour
montrer que la loi est interne :
pourquoi si alors ?

Et euh le radical a un rôle particulier ou ... ?

Merci encore.

[yos]

. Elève (f+g) à un exposant suffisant.
Pour l'utilité regarde le théorème des zéros de Hilbert.

[Dyo]

Merci je vais regarder :)

[leon1789]

. Elève (f+g) à un exposant suffisant.
Pour l'utilité regarde le théorème des zéros de Hilbert.

Effectivement, je pense que la notion de radical en algèbre provient de la géométrie : sur un corps, dessiner les solutions de f(x,y)=0 ou de f(x,y)^7=0, c'est la même chose. Les géomètres ne travaillent en fait qu'avec les radicaux, mais cela ne se voit pas quand on parle des lieux des zéros (et non des équations). En revanche, on voit apparaitre explicitement des radicaux quand on algébrise la géométrie...

[leon1789]

exercice facile : montrer que les idéaux et ont même racine. En déduire que si a et b sont comaximaux, alors a+b et a.b le sont aussi.

(ça me rappelle une discussion avec yos :we: )