Caractéristique, idéal premier, idéal maximal

[capitaine nuggets]

Bonjour, je bloque sur le petit exo suivant :


On considère l'anneau des entiers de Gauss .

1) Soit . On me demande de trouver une C.N.S. sur pour que l'équation d'inconnue admette au moins une solution.

Fait, j'ai trouvé qu'il fallait que divise .

2) En déduire la caractéristique de .

Là j'aurai dit , mais je ne saurais pas le justifier...

Merci d'avance pour l'aide donnée :we:

[Ben314]

Salut,
Il manquerais pas un "détail" à ton énoncé ?

[capitaine nuggets]

Salut,
Il manquerais pas un "détail" à ton énoncé ?

Oulah oui !
Je sais pas ce qui m'est arrivé : j'étais probablement trop fatigué pour réaliser... :ptdr:
Voici l'énoncé (complet ^^) :

On considère l'anneau .

1) On me demande de trouver une C.N.S. sur pour l'équation admette au moins une solution .

J'ai répondu qu'il fallait que 5 divise m, donc que .
En effet :[CENTER]
[/CENTER]

2) Ensuite, on me demande d'en déduire la caractéristique de

Là je bloque. D'après mon cours, la caractéristique de est l'unique entier tel que où désigne l'unique morphisme d'anneau vérifiant car .

3) Là, on me demande de montrer que le morphisme est surjectif.

J'ai un peu de mal à le justifier : ça me paraît évident par définition ! Ou alors je ne vois pas ce qu'on veut nous faire montrer

[L.A.]

Bonjour.

1) OK

2) le noyau de ton application Theta_A est l'ensemble des entiers qui ont une image nulle dans A, donc qui, vus dans l'anneau Z[i], appartiennent à l'idéal (2+i). Ca raccorde ainsi avec la question 1).

3) Non ce n'est pas "évident". Par exemple Z -> Z[i] n'est pas surjectif (i n'appartient pas à son image).

[capitaine nuggets]

2) le noyau de ton application Theta_A est l'ensemble des entiers qui ont une image nulle dans A, donc qui, vus dans l'anneau Z[i], appartiennent à l'idéal (2+i). Ca raccorde ainsi avec la question 1).

Ok, mais du coup, je vois pas comment répondre à la deuxième question...
Tu pourrais m'apporter une précision supplémentaire ?

[Ben314]

Là je bloque. D'après mon cours, la caractéristique de est l'unique entier tel que où désigne l'unique morphisme d'anneau vérifiant car .

Ca, au niveau des notations, ç'est pas futé du tout : autant , c'est clair que ça désigne le neutre de A pour la multiplication, autant tout seul, je vois pas ce que ça peut désigner dans le contexte (si l'anneau des entiers Z n'est pas inclus dans A, le 1 de Z n'est pas un élément de A...)
Donc écrire , je vois pas bien ce que c'est sensé vouloir dire et à part inciter à écrire des conneries en dessous, je vois pas l'intérêt.
Évidement, idem (voire pire) pour qui ne veut rien dire si Z n'est pas contenu dans A.

Par exemple, dans le cas super simple où A=Z/7Z, tu pense que c'est malin d'écrire les éléments de Z/7Z sous la forme d'entiers "normaux", c'est à dire sans barre au dessus ou quoi que ce soit d'autre pour préciser qu'on travaille modulo 7 ?

Revenons à l'exercice : tu cherche les entiers m tels que ce qui, comme A=Z[i]/(2+i), équivaut à dire que est dans l'idéal de Z[i] engendré par (2+i).
Et là, vu que Z est une partie de Z[i], tu peut effectivement dire que et donc que donc le problème se ramène à determiner les m de Z qui sont des multiples (dans Z[i]) de 2+i et c'est ce que tu as fait à la question précédente.

[capitaine nuggets]

Ca, au niveau des notations, ç'est pas futé du tout : autant , c'est clair que ça désigne le neutre de A pour la multiplication, autant tout seul, je vois pas ce que ça peut désigner dans le contexte (si l'anneau des entiers Z n'est pas inclus dans A, le 1 de Z n'est pas un élément de A...)
Donc écrire , je vois pas bien ce que c'est sensé vouloir dire et à part inciter à écrire des conneries en dessous, je vois pas l'intérêt.
Évidement, idem (voire pire) pour qui ne veut rien dire si Z n'est pas contenu dans A.

Par exemple, dans le cas super simple où A=Z/7Z, tu pense que c'est malin d'écrire les éléments de Z/7Z sous la forme d'entiers "normaux", c'est à dire sans barre au dessus ou quoi que ce soit d'autre pour préciser qu'on travaille modulo 7 ?

Revenons à l'exercice : tu cherche les entiers m tels que ce qui, comme A=Z[i]/(2+i), équivaut à dire que est dans l'idéal de Z[i] engendré par (2+i).
Et là, vu que Z est une partie de Z[i], tu peut effectivement dire que et donc que donc le problème se ramène à determiner les m de Z qui sont des multiples (dans Z[i]) de 2+i et c'est ce que tu as fait à la question précédente.

Ok, j'ai compris pourquoi alors du coup la caractéristique vaut 5 :++:

3) Par contre, je vois pas comment montrer la surjectivité de .
Une proposition ?

[Ben314]

Tu prend un élément x quelconque de A et tu doit montrer qu'il existe m dans Z tel que

Par définition, da A, ton x s'écrit où est la surjection canonique de Z[i] dans A=Z[i]/(2+i).
De plus donc, ce qu'il faut montrer, c'est que, étant donné un a+ib quelconque dans Z[i], il existe un entier m tel que , c'est à dire tel que soit un multiple de .

Autre méthode (à peine différente), montrer que et s'écrivent pour un certain m.
Ça suffit vu que est un anneau et que et engendrent clairement l'anneau A.

[capitaine nuggets]

Tu prend un élément x quelconque de A et tu doit montrer qu'il existe m dans Z tel que

Par définition, da A, ton x s'écrit où est la surjection canonique de Z[i] dans A=Z[i]/(2+i).
De plus donc, ce qu'il faut montrer, c'est que, étant donné un a+ib quelconque dans Z[i], il existe un entier m tel que , c'est à dire tel que soit un multiple de .

Autre méthode (à peine différente), montrer que et s'écrivent pour un certain m.
Ça suffit vu que est un anneau et que et engendrent clairement l'anneau A.

Ok, je vais faire ça alors :+++:

On me demande ensuite si l'idéal (2+i) est premier ? maximal ?
Je comprends pas trop déjà le sens des définition, alors je ne sais pas répondre à une telle question...

[L.A.]

Un idéal I de B est premier quand le quotient A=B/I est intègre, maximal quand A est un corps.
L'isomorphisme que tu peux déduire de Theta_A devrait te donner la réponse.

[capitaine nuggets]

(Je viens de me rendre compte que j'avais oublié de vous remercier pour votre : merci donc ! :king2: )

Je reviens pour m'exercer sur les idéaux premiers et maximaux (je ne suis pas très familier avec cette notion...). J'ai trouvé un petit exos sympa que j'aimerais faire pour apprivoiser les idéaux.

Soit . Comment déterminer si l'idéal est premier ? maximal ? Dois-je prouver au préalable que est effectivement un idéal ?

[Ben314]

Soit . Comment déterminer si l'idéal est premier ? maximal ? Dois-je prouver au préalable que est effectivement un idéal ?

Déjà, pour commencer, "prouver que I est un idéal", j'ai bien peur qu'il n'y ai pas grand chose à faire.
Je sais pas comment tu prononce à l'oral l'écriture , mais moi, ce que je prononce, c'est "I est l'idéal engendré par X deux plus un" donc...

Ensuite, il y a certes d'autres méthode plus proches des définitions, mais, dans un cas comme celui là, il me semble que le truc évident qui vient à l'esprit, c'est d'utiliser le théorème disant que, quelque soit le corps (commutatif) K et le polynôme P de K[X] on a équivalence entre :
- K[X]/(P) est premier.
- K[X]/(P) est maximal.
- P est irréductible dans K[X].

Après, si tu en as envie, tu peut aussi travailler dans K[X]/(P) :
- Comment s'écrivent les élément de cet anneau ? (si possible avec une écriture unique pour pouvoir travailler facilement avec)
- L'anneau en question est-il intègre ?
- Est-ce un corps ?
C'est (très beaucoup) plus long qu'avec le théorème sus-cité, mais ça peut être (un peu) formateur.

[Ben314]

Soit . Comment déterminer si l'idéal est premier ? maximal ? Dois-je prouver au préalable que est effectivement un idéal ?

Déjà, pour commencer, "prouver que I est un idéal", j'ai bien peur qu'il n'y ai pas grand chose à faire.
Je sais pas comment tu prononce à l'oral l'écriture , mais moi, ce que je prononce, c'est "I est l'idéal engendré par X deux plus un" donc...

Ensuite, il y a certes d'autres méthode plus proches des définitions, mais, dans un cas comme celui là, il me semble que le truc évident qui vient à l'esprit, c'est d'utiliser le théorème disant que, quelque soit le corps (commutatif) K et le polynôme P de K[X] on a équivalence entre :
- K[X]/(P) est premier.
- K[X]/(P) est maximal.
- P est irréductible dans K[X].

Après, si tu en as envie, tu peut aussi travailler dans K[X]/(P) :
- Comment s'écrivent les élément de cet anneau ? (si possible avec une écriture unique pour pouvoir travailler facilement avec)
- L'anneau en question est-il intègre ?
- Est-ce un corps ?
C'est (très beaucoup) plus long qu'avec le théorème sus-cité, mais ça peut être (un peu) formateur.

[capitaine nuggets]

Déjà, pour commencer, "prouver que I est un idéal", j'ai bien peur qu'il n'y ai pas grand chose à faire.
Je sais pas comment tu prononce à l'oral l'écriture , mais moi, ce que je prononce, c'est "I est l'idéal engendré par X deux plus un" donc...

Ensuite, il y a certes d'autres méthode plus proches des définitions, mais, dans un cas comme celui là, il me semble que le truc évident qui vient à l'esprit, c'est d'utiliser le théorème disant que, quelque soit le corps (commutatif) K et le polynôme P de K[X] on a équivalence entre :
- K[X]/(P) est premier.
- K[X]/(P) est maximal.
- P est irréductible dans K[X].

Après, si tu en as envie, tu peut aussi travailler dans K[X]/(P) :
- Comment s'écrivent les élément de cet anneau ? (si possible avec une écriture unique pour pouvoir travailler facilement avec)
- L'anneau en question est-il intègre ?
- Est-ce un corps ?
C'est (très beaucoup) plus long qu'avec le théorème sus-cité, mais ça peut être (un peu) formateur.

Salut Ben314 ! (dsl mon ordi avais planté...)

Je n'ai pas ce théorème dans mon cours on dirait :
Je sais que I est premier ssi A/I intègre et I est maximal ssi A/I est un corps.

Dans K[X]/(P) :
- Les éléments s'écrivent
- Je ne pense pas que A soit intègre...
- Aucune idée si c'est un corps ou non...

[capitaine nuggets]

Déjà, pour commencer, "prouver que I est un idéal", j'ai bien peur qu'il n'y ai pas grand chose à faire.
Je sais pas comment tu prononce à l'oral l'écriture , mais moi, ce que je prononce, c'est "I est l'idéal engendré par X deux plus un" donc...

Ensuite, il y a certes d'autres méthode plus proches des définitions, mais, dans un cas comme celui là, il me semble que le truc évident qui vient à l'esprit, c'est d'utiliser le théorème disant que, quelque soit le corps (commutatif) K et le polynôme P de K[X] on a équivalence entre :
- K[X]/(P) est premier.
- K[X]/(P) est maximal.
- P est irréductible dans K[X].

Après, si tu en as envie, tu peut aussi travailler dans K[X]/(P) :
- Comment s'écrivent les élément de cet anneau ? (si possible avec une écriture unique pour pouvoir travailler facilement avec)
- L'anneau en question est-il intègre ?
- Est-ce un corps ?
C'est (très beaucoup) plus long qu'avec le théorème sus-cité, mais ça peut être (un peu) formateur.

Salut Ben314 ! (dsl mon ordi avais planté...)

Je n'ai pas ce théorème dans mon cours on dirait :
Je sais que I est premier ssi A/I intègre et I est maximal ssi A/I est un corps.

Dans K[X]/(P) :
- Les éléments s'écrivent
- Je ne pense pas que A soit intègre...
- Aucune idée si c'est un corps ou non...

[jlb]

Salut, pour P dans Q[X], effectue la division de P par X²+2 et tu auras la tête des éléments de la classe de P

Du coup, ton premier problème est de montrer si tu peux trouver deux polynômes non nuls de degré au plus 1 ( de coefficient 1 pour leur terme de plus haut degré, pourquoi?) tels que leur produit soit X²+2.

Et pour le deuxième, pense au théorème de Bézout, cela doit aider.

[Ben314]

Dans K[X]/(P) :
- Les éléments s'écrivent

Attention : ce n'est pas du tout ça à la fin, c'est Q=P+R(X²+1) [il faudrait peut-être que le X²+1 apparaissent quelque part dans les classes de Q[X]/(X²+1) !!!)
Sinon, fait ce que JLB dit : ça précise un peu plus les indics. précédentes (pense bien a montrer l'unicité de l'écriture des éléments de Q[X]/(X²+1) sous la forme... qui est ensuite assez indispensable pour les calculs)