Idéal principal

[Cryptocatron-11]

Bonjour je rencontre des difficultés concernant les idéaux

Soit

On pose
et soit I={}

On a démontré que cet idéal n'était pas principal

Ce que j'ai compris c'est qu'il était pas principal car il n'était pas généré par un seul élément.
Mais on peut retrouver les éléments de I avec X seulement en faisant X.R[X,Y] pourquoi faut il avoir X.R[X,Y]+Y.R[X,Y] pour retrouver les éléments de I ?

En plus, il écrit que X et Y alors que les éléments de I sont de la forme je comprend pas ...

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

On a :

.
En fait : .
Mais,
Par exemple :
Donc, .

[Nightmare]

Salut,

je ne comprends pas ton énoncé. Qui est et que vient-il faire là dedans?

Tu dis

les éléments de I sont de la forme je comprend pas ...

Mais il n'y a qu'un élément qui est de la forme , c'est ...

Es-tu sûr de bien avoir recopié l'énoncé?

[Cryptocatron-11]

L'énoncé tel qu'il est écris est le suivant :
Soit

Soit I={}
Pourquoi I n'est pas principale ?

Voilà l'énoncé. Mais j'ai rien compris du tout à la correction

[barbu23]

On voulait peut être dire, que parmi, les éléments de , il y'a ... ça d'accord, parce que : ... :lol3:
Je t'ai déjà expliqué ici pourquoi, n'est pas principal :
http://www.maths-forum.com/anneau-non-principal-122348.php

[Cryptocatron-11]

On voulait peut être dire, que parmi, les éléments de , il y'a ... ça d'accord, parce que : ... :lol3:
Je t'ai déjà expliqué ici pourquoi, n'est pas principal :
http://www.maths-forum.com/anneau-non-principal-122348.php

Euh c'est pas à moi que tu as répondu ça mais à Waddle30 ...mais je vais jeter un oeil

[Cryptocatron-11]

Effctivement j'ai mal compris l'énoncé en même temps c'était pas malin de parler de ce P , ça prête vraiment à confusion à mon niveau enfin bref.

Du coup comme X et Y I alors on peut dire que X ne génère pas Y. ça suffit pas comme démo ?

et ça veut dire quoi cette "relation divise" dont waddle parle ...

[barbu23]

La relation dont parle Waddle est celle que j'ai exprimé par :
et , je pense. :happy3:

[Skullkid]

Salut Cryptocatron-11, il ne suffit pas de dire que X n'engendre pas Y (ce qui d'ailleurs ne veut pas dire grand-chose, même si on comprend ce que tu as voulu dire), car rien ne te dit a priori que X ou Y est un générateur de I. En revanche il suffit de dire qu'il n'existe pas de polynôme non constant qui divise à la fois X et Y (ce que fait barbu23 dans son autre post, avec force lignes).

[Cryptocatron-11]

Oui je viens de lire la démo qui est très claire .

Si je résume , on sait qu'on a I=(X,Y) ( qui veut dire ensemble des multiples des polynomes à deux variables si je me trompe pas ... ) On a X=P(X,Y).Q(X,Y) et Y=P(X,Y).R(X,Y) donc P est constant et forcément egal à 1 et
P(X,Y)=X et Q(X,Y)=Y
1=0 pas possible

Mais maintenant supposons qu'il n'y est pas eu la condition P(0,0)=0 ? là on peut dire que I est principal non ?

[barbu23]

Non, il faut d'abord lire les définitions du cours avant de se lancer dans la compréhension des détails ... :happy3:
Définition : :happy3:
Soit un anneau.
Soit une partie de .
Il existe un plus petit idéal de contenant , noté , appelé idéal engendré par .
On a :
Si : ,alors :

Pour revenir, à ton exemple :
On pose : , et et , et donc,
Donc veut dire l'ensemble des éléments qui s'écrivent sous la forme avec et dans .
ça ne veut pas dire que c'est l'ensemble des éléments multiples de qui s'écrivent ... fais attention ... rien à avoir ... :happy3: c'est et non ... :happy3:

[Cryptocatron-11]

Non, il faut d'abord lire les définitions du cours avant de se lancer dans la compréhension des détails ... :happy3:

Je savais pas qu'un idéal pouvait s'écrire comme une somme. Notre prof nous a juste parlé de la stabilité.
Mais je comprend mieux avec les sommes ça ressemble aux espaces vectoriels avec le Vect(u1,...,un)

Donc du coup si on enlève la condition P(0,0)=0 ça change qqchose ?

[Doraki]

Il a nulle part écrit un idéal comme une somme, il a écrit un idéal comme étant un ensemble de trucs qui sont des sommes. Ceci dit oui cette écriture est à rapprocher de "espace vectoriel engendré par" ou alors "groupe engendré par" ou etc.

Si on enlève la condition P(0,0) = 0, ça revient à prendre I=A, et à se demander si I est un idéal, et si oui, est-ce qu'il est principal.
Et oui a priori quand on change un truc dans une définition, ben ça change.

Mais t'as l'air de penser que I = {P / P(0,0) = 0} n'est pas principal parcequ'il y a une condition bizarre dedans. Ben non pas du tout, prend par exemple J = {P / P(0,y) = 0 pour tout y de R}, lui c'est un id"al principal.

[barbu23]

Je savais pas qu'un idéal pouvait s'écrire comme une somme. Notre prof nous a juste parlé de la stabilité.
Mais je comprend mieux avec les sommes ça ressemble aux espaces vectoriels avec le Vect(u1,...,un)

Donc du coup si on enlève la condition P(0,0)=0 ça change qqchose ?

Non, tu regardes le plan du cours pour ne pas te perdre, on commence d'abord, par définir ce qu'est vaguement la notion d'idéal ( c'est à dire de manière générale ) ... Ensuite, quant on finit cette étape, on passe à étudier différents types particuliers d’idéaux ... c'est à dire des objets qui sont des idéaux ( des vrais idéaux ), mais qui sont un peu particuliers ( ils ont un certains nombres de particularités qui permettent de faire des calculs facilement au sein de ses idéaux particuliers ... )
Un type particulier de ces idéaux est l'idéal engendré par une partie , je t'ai expliqué ce que c'est dans le message précédent ...
En clair, pas tous les idéaux sont des idéaux engendré par des parties , mais tout idéal engendré par une partie est un idéal bien sûr. :happy3:
Les idéaux qui ne sont pas engendré par une partie , ne nous intéresse pas, et on ne fait que donner leur définition c'est tout ... la majorité du temps, on ne travaille que dans des idéaux engendré par une partie ... C'est la plus importante dans tout le cours ... :happy3:

[Cryptocatron-11]

Si on enlève la condition P(0,0) = 0, ça revient à prendre I=A, et à se demander si I est un idéal, et si oui, est-ce qu'il est principal.
Et oui a priori quand on change un truc dans une définition, ben ça change.

Si j'enlève P(0,0) = 0, j'aurai tous les éléments qui s'écrivent sous la forme P(X,Y).X+U(X,Y).Y
Mais je pourrais pas avoir des polynomes constants non ? j'aurai des polynomes de degré 1 minimum vu qu'il y a du X et du Y ... Or 1 R[X,Y] non ?

[Doraki]

Si j'enlève P(0,0) = 0, j'aurai tous les éléments qui s'écrivent sous la forme P(X,Y).X+U(X,Y).Y

enlever d'où ? avoir quoi dans quoi ?

Sinon, après, 1 est dans R[X,Y], mais si I = {P / P(0,0) = 0} alors 1 n'est pas dans I parceque 1 est différent de 0. Mais je suis pas sûr de comprendre où tu veux en venir.

[Cryptocatron-11]

enlever d'où ? avoir quoi dans quoi ?

Sinon, après, 1 est dans R[X,Y], mais si I = {P / P(0,0) = 0} alors 1 n'est pas dans I parceque 1 est différent de 0. Mais je suis pas sûr de comprendre où tu veux en venir.

Bah tu as dis "Si on enlève la condition P(0,0) = 0, ça revient à prendre I=A, et à se demander si I est un idéal, et si oui, est-ce qu'il est principal."
Et bien si j'enlève cette condition je me retrouve avec non ?
Par conséquent je peux pas avoir P(X,Y).X+U(X,Y).Y=1 vu que 1 est un polynome de degré 0 pour degX et pour degY alors que P(X,Y).X+U(X,Y).Y est une polynome de degré > ou = 1 pour degX et pour degY

Je sais pas si tu vois ce que je veux dire ...

[Cryptocatron-11]

je l'ai réécris désolé pb d'accolade

[Doraki]

Bah non, quand tu pars d'une égalité vraie
{P dans R[X,Y] / P(0,0) = 0} = idéal engendré par X et Y = {P*X + Q*Y, où P et Q sont dans R[X,Y]},

et que tu changes un terme, ben tu obtiens une égalité fausse.
{P dans R[X,Y]} n'est pas l'idéal engendré par X et Y.

[Cryptocatron-11]

{P dans R[X,Y]} n'est pas l'idéal engendré par X et Y.

il est engendré par quoi alors ?