Idéal principal

[barbu23]

il est engendré par quoi alors ?

Il est engendré par les monômes
Comment s'écrit un élément de ?

[Cryptocatron-11]

Il est engendré par les monômes
Comment s'écrit un élément de ?

Ok et il n'est donc pas principal ... ?

[Cryptocatron-11]

Comment s'écrit un élément de ?

non ?

[Doraki]

ben non, 2, X, et X+Y sont dans R[X,Y] mais il ne sont pas de la forme que tu dis
(d'ailleurs mettre des sommes sans indices donc qui somment toujours le même temre donc qui servent à rien je trouve ça bizarre)

[barbu23]

Un élément de s'écrit : avec avec en tant que - module ( c'est à dire : - module ).
Il peut aussi être vu comme un - module, et donc est engendré par les monômes , c'est à dire un élément de s'écrit : ..; Comme il peut être aussi vu comme un - module, dans ce cas , il est engendré par , c'est à dire un élément de , peut s'écrire :
On résume celà, en disant que qu'il y'a l'isomorphisme suivant :

[Cryptocatron-11]

Il peut aussi être vu comme un - module, et donc est engendré par les monômes , c'est à dire un élément de s'écrit : ..;

Alors dans ce cas est ce qu'on peut dire qu'il est principal vu qu'il est généré par X ?

[barbu23]

Alors dans ce cas est ce qu'on peut dire qu'il est principal vu qu'il est généré par X ?

Il n'est pas généré par un seul monôme : , mais par une suite de monômes . :happy3:

[Cryptocatron-11]

Il n'est pas généré par un seul monôme : , mais par une suite de monômes . :happy3:

Dans ce cas R[X] n'est pas principal non plus ...

[Cryptocatron-11]

ben non, 2, X, et X+Y sont dans R[X,Y] mais il ne sont pas de la forme que tu dis
(d'ailleurs mettre des sommes sans indices donc qui somment toujours le même temre donc qui servent à rien je trouve ça bizarre)

:ptdr: oui enfin c'est la fatigue évidemment je voulais dire et merci pour la remarque

[Doraki]

C'est pas parceque quelquechose peut être engendré par plusieurs éléments qu'il n'est pas principal.

Souviens-toi, quand on prouve que {P / P(0,0) = 0} n'est pas principal, ça ne suffit absolument pas de dire qu'il est engendré par X et Y.

Pour montrer qu'un idéal I n'est pas principal il faut montrer qu'il n'existe pas d'élément P de I tel que I = l'ensemble des multiples de P (dans A).
Ce que barbu23 a fait dans le cas de {P / P(0,0) = 0} longuement.

Dire que R[X,Y] est engendré par 1,X,X²,X^3 ..., ça ne veut carrémrnt pas dire qu'il n'est pas principal.

Pour montrer que R[X,Y] est principal il faut montrer qu'il existe un polynôme P tel que R[X,Y] = l'ensemble des multiples de P.

En fait R[X,Y] est principal puisque c'est l'ensemble des polynômes qui sont multiples de 1.

[Cryptocatron-11]

Pour montrer qu'un idéal I n'est pas principal il faut montrer qu'il n'existe pas d'élément P de I tel que I = l'ensemble des multiples de P (dans A).
Ce que barbu23 a fait dans le cas de {P / P(0,0) = 0} longuement.

Pour le garder en mémoire, on peut partir de l'exemple des Z

(Z,+,.) est un anneau
Soit I={x|x 2Z}
et par exemple 22x est dans ce paquet mais l'ensemble des multiples de 22x n'est pas égal à I
et si I aurait été égal aux multiples de 22x alors I n'aurait pas été principal ... donc I est principal dans ce cas ... et barbu23 a montré que I=(X,Y)=(P) était absurde ...

Par contre si je montre que mon idéal est généré par un seul élément là je peux dire que mon idéal est principal si j'en crois mon cours non ? car je crois que c'est ce qu'on a essayé de faire pour I={} avec

[Doraki]

Pour le garder en mémoire, on peut partir de l'exemple des Z

gné ? Z a le mauvais goût d'avoir tous ses idéaux qui sont princiapux donc je vois pas ce que tu vas illustrer.

(Z,+,.) est un anneau
Soit I={x|x 2Z}

"Soit I = l'ensemble des x qui sont dans l'ensemble 2Z" ? Pourquoi tu dis pas "Soit I = 2Z" ?

et par exemple 22x est dans ce paquet

Je sais pas qui est 22x. Mais bon 22 est dans 2Z et je vais faire semblant que x=1.

mais l'ensemble des multiples de 22x n'est pas égal à I

Oui il existe des éléments de 2Z, par exemple 14, qui ne sont pas multiples de 22.

et si I aurait été égal aux multiples de 22x alors I n'aurait pas été principal

Ben si, il aurait été l'ensemble des multiples de 22, c'est-à-dire l'idéal engendré par 22. 22Z quoi. Et il est principal.

Par contre si je montre que mon idéal est généré par un seul élément là je peux dire que mon idéal est principal si j'en crois mon cours non ?

Oui il est bon de connaître les définitions quand on doit faire des exercices.
La définition d'un idéal principal c'est qu'un idéal est principal si c'est un idéal dont on peut montrer qu'il est engendré par 1 seul élément, c'est-à-dire un idéal de la forme "l'ensemble des multiples de truc", où truc est dans A.
Et il ne faut pas avoir peur d'appliquer les définitions. Sinon tu peux rien faire.

Bien sûr quand on a un idéal, il y a plein d'ensembles par lequel il est engendré.
Donc il ne faut pas dire "I est engendré par ça et ça. Oh mon dieu ça fait 2 éléments donc il n'est pas principal", c'est totalement faux puisque I peut être engendré de plein de manières différentes.

Par exemple, dans l'anneau Z, l'idéal Z est engendré par Z, par N, par {12,-10,15}, par {1,2,3}, par {-1} etc.

[Cryptocatron-11]

il ne faut pas dire "I est engendré par ça et ça. Oh mon dieu ça fait 2 éléments donc il n'est pas principal", c'est totalement faux puisque I peut être engendré de plein de manières différentes.

Par exemple, dans l'anneau Z, l'idéal Z est engendré par Z, par N, par {12,-10,15}, par {1,2,3}, par {-1} etc.

Tal' heure c'est ce que je croyais ... mais y'a des cas ou même avec les définitions en tête c'est quasiment impossible de trouver tout seul

Exemple : A={|dérivable en 0}
I={|f(0)=0}
I idéal ? principal?
tu t'y serais pris comment ?

[barbu23]

C'est clair que c'est un idéal, il suffit d'appliquer la définition. :happy3:
Pour voir si est principal, il suffit de : Choisir un candidat qui joue le rôle de générateur de , ensuite montrer que ( c'est à dire pour tout dérivable en ) , : ( c-à-d : est dérivable en et )
Dans ce cas, .
Ensuite, il faut montrer que , c'est à dire, il faut montrer que pour tout , ( toute fonction dérivable en tel que , peut s'écrire comme produit de et une fonction dérivable en .
C'est à dire là, on sort du domaine de l'algèbre, et on se jette dans le monde de l'analyse. :happy3:

Si est à priori non principal, alors, il faut montrer qu'il existe tel que :

Bref, ça dépend de notre intuition le fait que est principal ou non. :happy3:
Moi, je n'ai pas encore vérifié, car cette question relève de l'analyse et non de l'algèbre. :happy3:

[Cryptocatron-11]

Notre prof nous l'a donné à faire et il nous a dit que c'était le pont entre l'algèbre et l'analyse mais que ça reste quand même de l'algèbre malgré les notions d'analyse à maitriser... je pense qu'il faut s'aidder de la limite de f(x)-f(0)/(x-0) lorsque x tend vers zéro ....

[Doraki]

I est un idéal, c'est facile.

Ensuite on cherche par quoi il peut être engendré.
soit f(x) = x. f est dans I.
Au début on se demande donc si I est engendré par f.
Si on a une fonction g dans I, on peut la diviser par f et la prolonger par continuité en 0 par g'(0), jusque là tout va bien. Seulement on obtient pas forcément un truc dérivable en 0. Par exemple en prenant g(x) = x^(4/3) :
Si g(x) = f(x)*h(x) avec h dans A, alors h(x) = x^(1/3) pour tout x non nul.
Comme h est censée être dérivable en 0 puisqu'elle est dans A, elle est continue en 0, donc h(0) = 0, Donc h(x) = x^(1/3), qui n'est pas dérivable en 0.

Fort de cette observation, on se dit que ça fait pareil avec n'importe quelle fonction à la place de f. Après tout, la fonction identité ne vérfie rien de spécial en 0 à part que sa dérivée vaut 1.
Supposons que I est engendré par une fonction f.
Alors la fonction x -> f(x)^(4/3) est dans I. (elle est dérivable en 0, d'ailleurs sa dérivée est nulle en 0)
Donc il existerait une fonction g dans A telle que f(x)^(4/3) = g(x)*f(x), pour tout x de R.
En différentiant en 0, on obtient que 0 = g'(0)*f(0) + g(0)*f'(0), donc g(0)*f'(0) = 0.

Si f'(0) est non nul alors g(0) = 0, donc g est dans I. De plus ça nous dit que f est non nulle au voisinage de 0, et donc on peut dire que g(x) = f(x)^(1/3) sur un voisinage de 0. Donc f(x) = g(x)^3 au voisinage de 0, et donc comme g est dans A, g est dérivable en 0, et donc f'(0)= 3*g'(0)*g(0)² = 0, contradiction.

Si f'(0) = 0 alors c'est encore plus facile : l'idéal engendré par f ne contient que des fonctions dont la dérivée en 0 est nulle : Si g est dans A, en dérivant f(x)*g(x) en 0, on obtient f'(0)*g(0)+f(0)*g'(0) = 0*g(0)+0*g'(0) = 0. Or I contient la fonction identité, dont la dérivée en 0 vaut 1, qui est différent de 0. Donc f ne peut pas engendrer I.

[Cryptocatron-11]

OK j'ai compris merci pour cette explication L'idée c'était de se dire que comme h(x) n'appartient pas à A alors on commence à penser qu'aucune fonction f I peut engendrer I. Et on part sur la fonction machin^(4/3) mais bon fallait y penser car sans que tu me l'ai écrit , l'idée ne me serait pas venue ... y'a pas un truc pour penser à la fonction x-->f(x)^(4/3) ?

j'ai encore deux remarques à faire

1ère remarque

Bah non, quand tu pars d'une égalité vraie
{P dans R[X,Y] / P(0,0) = 0} = idéal engendré par X et Y = {P*X + Q*Y, où P et Q sont dans R[X,Y]},

et que tu changes un terme, ben tu obtiens une égalité fausse.
{P dans R[X,Y]} n'est pas l'idéal engendré par X et Y.

Je vois pas pourquoi on pourrais pas dire que I={P dans R[X,Y]} puisse être engendré par {X,Y} ...

OK I est engendré par {1} ou {} mais je vois pas pourquoi j'aurai pas le droit de dire qu'il peut être engendré par {X,Y} .

Car écrire (X,Y)=(1) , c 'est pas absurde pour I={P dans R[X,Y]}
et pour reprendre les mêmes notations que Barbu23 rien ne contredit le fait que pour I




2ème remarque

prend par exemple J = {P / P(0,y) = 0 pour tout y de R}, lui c'est un id"al principal

Pour montré que J est principal. Est ce qu'on peut partir de la même idée que barbu23 a fait pour I={P / P(0,0) = 0 } ?
On suppose qu'il existe (X,Y)=()
A la fin on a ()=(1) et donc 1 = U(X,Y) X + Q(X,Y) Y et comme Q(X,Y) Y=0 on a donc 1 = U(X,Y) X qui est possible. Ca suffit pour montrer que J est un idéal principal ?

[Doraki]

OK j'ai compris merci pour cette explication L'idée c'était de se dire que comme h(x) n'appartient pas à A alors on commence à penser qu'aucune fonction f I peut engendrer I. Et on part sur la fonction machin^(4/3) mais bon fallait y penser car sans que tu me l'ai écrit , l'idée ne me serait pas venue ... y'a pas un truc pour penser à la fonction x-->f(x)^(4/3) ?

Quand tu essayes de montrer que I est engendré par la fonction x -> x,
tu dis : pour tout f dans I, j'aimerais bien qu'il existe g dans A tel que f(x) = x*g(x).
Donc posons g(x) = f(x)/x lorsque x est non nul, et g(0) = f'(0).
g est continue en 0 (par la définitio de f'(0)), il reste donc à montrer que pour tout f dérivable en 0 tel que f(0)=0, f(x)/x est dérivable en 0. Et puis là on bloque. Donc on cherche une fonction g qui n'est pas dérivable en 0 et telle que x*g(x) est dérivable en 0 pour donner un contre-exemple.
Là bah t'as plein de choix. Moi j'ai d'abord pensé à la racine carrée, le seul ennui c'est qu'elle est pas définie pour x<0, donc je me suis rabattu sur la fonction racine cubique, définie sur R, et qui vérifie tout ce qu'il faut pour faire un contre-exemple.

1ère remarque
Je vois pas pourquoi on pourrais pas dire que I={P dans R[X,Y]} puisse être engendré par {X,Y} ...

OK I est engendré par {1} ou {} mais je vois pas pourquoi j'aurai pas le droit de dire qu'il peut être engendré par {X,Y} .

Ben tu peux pas le dire parceque c'est faux.
Soit I l'idéal engendré par X et Y, soit J l'idéal {P / P(0,0) = 0}.
Clairement, X et Y sont dans J, donc par définition de "idéal engendré par", I est inclus dans J.
Clairement, le polynôme 1 n'est pas dans J puisque 1 est différent de 0.
Donc 1 n'est pas non plus dans I, et donc I n'est pas R[X,Y].

Car écrire (X,Y)=(1)

c'est faux, quelquesoit ce que tu dis à propos d'un I qui d'ailleurs n'a rien à voir avec l'égalité.

et pour reprendre les mêmes notations que Barbu23 rien ne contredit le fait que pour I

Non tu ne pourras jamais trouver de polynôme U et V tels que 1 = U*X + V*Y.
Parceque, encore une fois, 1(0,0) = 1 alors que (U*X+V*Y)(0,0) = U(0,0)*0 + V(0,0)*0 = 0+0 = 0.

2ème remarque
Pour montré que J est principal. Est ce qu'on peut partir de la même idée que barbu23 a fait pour I={P / P(0,0) = 0 } ?

Il faut partir de la définition de "idéal principal". Et puis ce que barbu23 a fait à propos de I, c'est de montrer qu'il était pas principal, donc ça me paraît douteux ton plan de se baser dessus.

On suppose qu'il existe (X,Y)=()

ceci n'a aucun rapport avec J je vois pas ce que tu comptes faire avec pour montrer que J est principal.

Enfin bref dans l'ensemble, tu dis totalement n'importe quoi à chaque ligne.

Ne dis JAMAIS "on fait comme lui mais en remplaçant ça par ça et ça par ça on obtient ça"
parceque c'est carrément pas clair, et en l'occurence tu remplaces 1 truc sur 10, et tu dis que des trucs faux. J'ai l'impression que tu dis un truc comme "1+1 = 2 = 3-1 = 4/2 = 8/4; mais on peut remplacer 1 par 2 et 2 par 4, ça donne que 2+2 = 4 = 3-1 = 4/4 = 8/4, est-ce que c'est bon ?"

Pour montrer que J est principal tu dois appliquer la définition de "idéal principal", et donc chercher un polynôme P dans J tel que J = l'ensemble des multiples de P. Donc tu fais un choix pour P et ensuite tu démontres qu'il y a égalité entre les deux ensembles J et (P).

En l'occurence tu ne peux pas avoir J = (1) parceque 1 est dans (1), mais 1 n'est pas dans J puisqu'il est faux que pour tout y de R, 1(0,y) = 0. Par exemple pour y = 17, 1(0,17) = 1, et ça ne fait pas 0.

[Doraki]

Je te fais la démonstration de {P dans R[X,Y] / P(0,0) = 0} = (X,Y), parceque j'ai l'impression que tu crois qu'on sort ça d'un chapeau magique.

Soit I = {P dans R[X,Y] / P(0,0) = 0}.

Montrons que (X,Y) est inclus dans I :
X est dans I : en effet, X(0,0) = 0.
Y est dans I : en effet, Y(0,0) = 0.
Par définition de "idéal engendré par", on a donc que (X,Y) est inclus dans I.

Montrons que I est inclus dans (X,Y) :
Soit P dans I.
P est de la forme : P = la somme des a(i,j)*X^i*Y^j, où les coefficients a(i,j) sont dans R et sont presque tous nuls (tous sauf un nombre fini)
P est dans I donc P(0,0) = 0.
Donc somme de a(i,j)*0^i*0^j = 0. (cette somme a un sens parcequ'il y a un nombre fini de coefficients non nuls).
Comme 0^i = 0 pour tout i sauf pour i = 0 où ça vaut 1, ça veut dire que
somme de a(i,j)*0^i*0^j = a(0,0)*1*1 + une somme infinie de termes tous nuls = a(0,0).
Donc a(0,0) = 0.
Maintenant,
P = somme pour i>=1 et j>=0 des a(i,j)*X^i*Y^j + somme pour i=0 et j>=1 des a(i,j)*X^i*Y^j + a(0,0)*X^0*Y^0
= X * (somme pour i>=1 et j>=0 des a(i,j)*X^(i-1)*Y) + Y * (somme pour i=0 et j>=1 des a(i,j)*X^i*Y^(j-1)) + 0
= X*U + Y*V, où U = somme pour i>=1 et j>=0 des a(i,j)*X^(i-1)*Y et V = somme pour i=0 et j>=1 des a(i,j)*X^i*Y^(j-1)
Donc si un idéal contient X et Y alors il contient X*U et Y*V donc il contient X*U+Y*V, donc il contient P.
Donc par définition de "idéal engendré par", P est dans l'idéal engendré par (X,Y).
Donc I est inclus dans (X,Y).

Donc I = (X,Y).

Donc tu vois il faut pas dire des trucs comme "tel idéal = (X,Y)" au hasard comme tu le fais depuis tout à l'heure, il faut le démontrer proprement.

[Cryptocatron-11]

Bah le soucis c'est qu'en relisant ton dernier post pour montrer que {P dans R[X,Y] / P(0,0) = 0} = (X,Y) , j'ai remarqué que j'avais un sérieux problème de compréhension en notation depuis tout à l'heure

Quand on écrit P(X,Y) bah je croyais que ça voulais dire "P en fonction de X et de Y" comme pour les fonctions avec f(x,y) par exemple

Mais en fait P et (X,Y) se sont deux trucs bien distincts en fait non ? P R[X,Y] et (X,Y) est un idéal ...

Desolé mais moi et l'algèbre ça fait deux , j'ai énormément de difficultés avec l'écriture :triste: