Ideal de l'anneau Z

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
jankyjack
Membre Naturel
Messages: 63
Enregistré le: 10 Nov 2016, 07:41

Ideal de l'anneau Z

par jankyjack » 11 Jan 2017, 21:51

Bonsoir,

je voudrais demonter que les seuls idéaux de l'anneau Z muni des lois + et * sont de type nZ

Merci de vos reponses



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 17484
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Ideal de l'anneau Z

par Ben314 » 11 Jan 2017, 23:01

Salut,
C'est du archi archi archi classique (et donc à savoir...)
Soit J un idéal de Z.
- Si J={0} alors J=nZ avec n=0.
- Sinon, J inter N* est non vide (pourquoi ?) donc contient un plus petit élément n (pourquoi ?).
Il est clair que nZ est contenu dans J (pourquoi ?) et on vérifie que J est contenu dans nZ (comment ?)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

jankyjack
Membre Naturel
Messages: 63
Enregistré le: 10 Nov 2016, 07:41

Re: Ideal de l'anneau Z

par jankyjack » 11 Jan 2017, 23:49

J est inter N est non vide parce que si on J est un ideal donc pour a element de J et pour tout b element de N a+b est element de J donc si on b> |a| alors a+b appartient à N donc à J.

Il existe un plus petit element parce que l'on peut considerer J comme un ordre de Emmy Noether. et par definition toute ordre de Noether possede un plus petit element.

les deux derniers je ne vois pas trop pourquoi et comment

Avatar de l’utilisateur
zygomatique
Vétéran
Messages: 6929
Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31

Re: Ideal de l'anneau Z

par zygomatique » 12 Jan 2017, 13:33

salut

pourquoi parler d'Emmy Noether ?

toute partie non vide de N est évidemment minorée ...

ne pas oublier qu'un idéal est un sous- groupe ... si ce n'est pas {0} alors ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 17484
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Ideal de l'anneau Z

par Ben314 » 13 Jan 2017, 01:05

Ben314 a écrit:Soit J un idéal de Z.
- Si J={0} alors J=nZ avec n=0.
- Sinon, J inter N* est non vide (1) donc contient un plus petit élément n (2).
Il est clair que nZ est contenu dans J (3) et on vérifie que J est contenu dans nZ (4)
(1) Car si J est non réduit à {0} il contient un élément w non nul ainsi que son opposé -w vu que J est un idéal (donc un sous groupe additif). Or de w et -w, il y en a forcément un des deux dans N*.
(2) Car toute partie non vide de N* admet un plus petit élément.
(3) Car, comme n est dans J et que J est un idéal de Z, le produit de n par tout élément de Z est lui aussi dans J (c'est une des propriétés que, par définition, doit vérifier un idéal)
(4) Soit w un élément quelconque de J. On effectue la division Euclidienne de w par n : w=qn+r avec 0<=r<n. Comme r=w-qn est la différence entre deux éléments de J, il est lui même dans J. Or il est <n qui est le plus petit élément de J inter N* donc il n'est pas dans N* ce qui, vu qu'il est >=0, signifie qu'il est nul et donc que w=qn est dans nZ.

P.S. Et ça :
jankyjack a écrit:J est inter N est non vide parce que si on J est un ideal donc pour a element de J et pour tout b element de N a+b est element de J donc si on b> |a| alors a+b appartient à N donc à J.
c'est franchement du grand n'importe quoi : selon toi, si on prend un nombre entier pair (i.e. dans l'idéal J=2Z), par exemple a=2 et qu'on lui rajoute un entier naturel quelconque, par exemple b=3, tu crois vraiment que la somme a+b=2+3 est paire (i.e. dans J) ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 8 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite