Idéal d'un anneau

par **barbu23** » 25 Juil 2014, 21:20

Bonjour à tous, :happy3:

Soit

un anneau gradué.
Soit

un idéal de

.
Pourquoi :

équivaut à

possède une famille génératrice constitué d'éléments homogènes ?
Qu'est ce que ça veut dire que :

possède une famille génératrice constitué d'éléments homogènes ?

Merci d'avance. :happy3:

par **lapras** » 25 Juil 2014, 23:17

Déjà la définition : tu sais ce qu'est un élément homogène, tu sais ce qu'est une famille génératrice, donc tu sais ce qu'est une famille génératrice constituée d'éléments homogènes.

Après il y a une équivalence à montrer.
Si I = somme directe de I inter B_n.
Alors tout élément de I est somme d'élément homogène appartenant à I (par définition de la somme directe !)
Si I possède une famille génératrice d'éléments homogènes, alors notons (x_j) cette famille. Alors tout élément x de I s'écrit comme somme lambda_j*x_j pour des éléments lambda_j de B. Maintenant écris lambda_j comme somme d'éléments homogènes et développe le tout : tu obtients que x est somme d'éléments homogènes appartenant à I (il faut utiliser le fait que I est un idéal).

par **barbu23** » 25 Juil 2014, 23:45

Merci pour cette réponse. :happy3:
Soit

une famille génératrice d'éléments homogènes de

.

circule -t-il dans quel ensemble ?

:

avec :

Pourquoi :

?
Merci d'avance.

par **lapras** » 26 Juil 2014, 10:17

J est un ensemble quelconque (tu peux le prendre fini si tu sais que B est noethérien -- ce qui est faux en général).
Une somme d'éléments homogène est homogène.
Un produit d'un élément de B par un élément de I est dans I.
Une somme d'éléments de I est dans I.

par **barbu23** » 26 Juil 2014, 16:56

Merci beaucoup pour ces précisions. :happy3:
J'ai une autre question si vous me permettez :
A la page :

du pdf suivant : http://arxiv.org/abs/1401.0959 , et plus exactement, dans le paragraphe :

, il est dit que l'élément

de

est dans

si et seulement si

, pourriez vous m'expliquer pourquoi il y'a ça, avec beaucoup plus de détails svp ?
Merci d'avance. :happy3:

par **lapras** » 26 Juil 2014, 20:42

Bon bah y'a un sens trivial : si a est dans P_(rm) alors a/f^m est dans q=P inter. (B_f)0
Réciproquement, si a/f^m est dans q, alors a=f^m*b où b est dans q. Comme q contenu dans P, a est dans P inter (B_f)_mr = P_(mr) (la dernière égalité vient de ce que P est homogène donc on peut l'écrire comme somme directe de sous-espaces homogènes P_k).

par **barbu23** » 27 Juil 2014, 03:42

Merci. :happy3:

par **barbu23** » 29 Juil 2014, 00:41

Bonsoir, :happy3:

Pourquoi

est un objet initial de la catégorie des anneaux ?

Merci d'avance. :happy3:

Idéal d'un anneau

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