Ideal de l'anneau Z

[jankyjack]

Bonsoir,

je voudrais demonter que les seuls idéaux de l'anneau Z muni des lois + et * sont de type nZ

Merci de vos reponses

[Ben314]

Salut,
C'est du archi archi archi classique (et donc à savoir...)
Soit J un idéal de Z.
- Si J={0} alors J=nZ avec n=0.
- Sinon, J inter N* est non vide (pourquoi ?) donc contient un plus petit élément n (pourquoi ?).
Il est clair que nZ est contenu dans J (pourquoi ?) et on vérifie que J est contenu dans nZ (comment ?)

[jankyjack]

J est inter N est non vide parce que si on J est un ideal donc pour a element de J et pour tout b element de N a+b est element de J donc si on b> |a| alors a+b appartient à N donc à J.

Il existe un plus petit element parce que l'on peut considerer J comme un ordre de Emmy Noether. et par definition toute ordre de Noether possede un plus petit element.

les deux derniers je ne vois pas trop pourquoi et comment

[zygomatique]

salut

pourquoi parler d'Emmy Noether ?

toute partie non vide de N est évidemment minorée ...

ne pas oublier qu'un idéal est un sous- groupe ... si ce n'est pas {0} alors ...

[Ben314]

Soit J un idéal de Z.
- Si J={0} alors J=nZ avec n=0.
- Sinon, J inter N* est non vide (1) donc contient un plus petit élément n (2).
Il est clair que nZ est contenu dans J (3) et on vérifie que J est contenu dans nZ (4)

(1) Car si J est non réduit à {0} il contient un élément w non nul ainsi que son opposé -w vu que J est un idéal (donc un sous groupe additif). Or de w et -w, il y en a forcément un des deux dans N*.
(2) Car toute partie non vide de N* admet un plus petit élément.
(3) Car, comme n est dans J et que J est un idéal de Z, le produit de n par tout élément de Z est lui aussi dans J (c'est une des propriétés que, par définition, doit vérifier un idéal)
(4) Soit w un élément quelconque de J. On effectue la division Euclidienne de w par n : w=qn+r avec 0<=r<n. Comme r=w-qn est la différence entre deux éléments de J, il est lui même dans J. Or il est <n qui est le plus petit élément de J inter N* donc il n'est pas dans N* ce qui, vu qu'il est >=0, signifie qu'il est nul et donc que w=qn est dans nZ.

P.S. Et ça :

J est inter N est non vide parce que si on J est un ideal donc pour a element de J et pour tout b element de N a+b est element de J donc si on b> |a| alors a+b appartient à N donc à J.

c'est franchement du grand n'importe quoi : selon toi, si on prend un nombre entier pair (i.e. dans l'idéal J=2Z), par exemple a=2 et qu'on lui rajoute un entier naturel quelconque, par exemple b=3, tu crois vraiment que la somme a+b=2+3 est paire (i.e. dans J) ?