[algebre] idéal d'anneau

[parisien75]

Bonjour, j'aimerai montrer ceci:

-Soit I un idéal d'un anneau commutatif A.
-Soit x un élément de A.

Est ce que le fait que = (x) ?=>? il existe n tq I = (x^n) ???

De même

Est ce que le fait que I = (x^n) ?=>? = (x) ???

Merci d'avance si vous avez des idées.

[abcd22]

Bonjour,

Est ce que le fait que I = (x^n) ?=>? = (x) ???

Pour le premier je n'ai pas réfléchi mais ça c'est clairement faux puisque si n est pair par exemple on pourrait aussi en déduire . On peut trouver des contre-exemples dans .

[Miya]

Bonjour bonjour,

je ne suis pas sur de comprendre la notation "racine de I". Estce l'ensemble {x€A tel que x²€I}, ou l'ensemble des générateurs de I ou un autre objet étrange?
Quoiqu'il en soit, la conclusion me paraît hautement bizarre. Peut-être voulais tu dire qu'alors, I est un idéal principal?

[abcd22]

= radical de I = (on montre que c'est bien un idéal).

[parisien75]

En fait = { x A | il existe n * | x^n I}

Pour le deuxieme je suis d'accord, c'est faux !!

Pour le premier
Dans un anneau principal , on a qui engendré par un élément x : = (x), cela implique t'il que il existe n naturel tel que I soit engendré par x^n : I = (x^n) ??

[parisien75]

En fait, est ce que si est un anneau principal, alors I est un anneau principal puisque I inclus dans ??

[abcd22]

En fait, est ce que si est un idéal principal, alors I est un idéal principal puisque I inclus dans ??

Non car sinon tous les anneaux seraient principaux : pour tout idéal I d'un anneau A quelconque, I est inclus dans l'idéal principal A = (1) de A.

[parisien75]

En effet... Merci

J'ai une autre question, intuitivement, je me dis que tout élement irreductible d'un idéal engendre cet ideal (pour nZ par exemple)

Est ce vrai dans tout anneau?

[abcd22]

J'ai une autre question, intuitivement, je me dis que tout élement irreductible d'un idéal engendre cet ideal (pour nZ par exemple)

Est ce vrai dans tout anneau?

C'est vrai dans les anneaux principaux (mais tous les idéaux ne contiennent pas d'éléments irréductibles), mais pas dans les anneaux non principaux, par exemple dans , l'idéal (X,Y) n'est pas principal (il n'y a pas de polynôme à 2 variables non constant qui divise à la fois X et Y) et il contient des éléments irréductibles.

[fahr451]

tu as déjà posté sur le radical d'un idéal

j'ai pris la peine de te répondre

tu n 'as pas pris la peine de répondre
tu as ouvert un autre post