Gilles Costantini : aidez nous à comprendre ses cours, aidez

[chombier]

Bonjour à tous.

Je ne pense pas être le seul à m'abreuver de la prose de M. Costantini tant son site est riche et bien structuré.

Malgré tout, il reste certaines zones d'ombre, et en voici une qui se trouve dans ce poly : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/agreg_fichiers/recur.pdf

Le théorème 1.1 (ça commence bien) dit que si :
- f est une fonction réelle définie sur un intervalle I
- , i.e. I est stable par f
- la suite est définie par son premier terme et la relation de récurrence :
Et surtout :
- f est continue sur I
-
Alors , i.e. l est un point fixe de l

Deux petites questions :
Il n'est pas spécifié si I est borné, ni si l est réel ou appartient à la droite réelle achevée. Que se passe-t-il si ?

Il n'est pas spéficié si I est fermé, Que se passe-t-il si ?

[BiancoAngelo]

Bonjour à tous.

Je ne pense pas être le seul à m'abreuver de la prose de M. Costantini tant son site est riche et bien structuré.

Malgré tout, il reste certaines zones d'ombre, et en voici une qui se trouve dans ce poly : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/agreg_fichiers/recur.pdf

Le théorème 1.1 (ça commence bien) dit que si :
- f est une fonction réelle définie sur un intervalle I
- , i.e. I est stable par f
- la suite est définie par son premier terme et la relation de récurrence :
Et surtout :
- f est continue sur I
-
Alors , i.e. l est un point fixe de l

Deux petites questions :
Il n'est pas spécifié si I est borné, ni si l est réel ou appartient à la droite réelle achevée. Que se passe-t-il si ?

Il n'est pas spéficié si I est fermé, Que se passe-t-il si ?

ps : Dans l'idée, je pensait utiliser ce fil de discussion pour poser des questions sur ses cours (d'où son titre). Je ne sais pas si ça prendra ni c'est si une bonne idée ni si c'est dans l'esprit de ce forum. On verra...

Salut !

J'ai cherché il y a quelques temps si vraiment on avait besoin de la continuité, car j'en parlais à une de mes élèves de Terminale. En l'occurrence, je ne me suis pas convaincu que c'était vital. En fait, il semble que l'hypothèse de convergence et de continuité soient très liées.

Bref.
Si jamais on suppose que , f(l) a donc pour sens qui serait donc infini...

La question est de savoir si on considère l'infini comme un point fixe. C'est un peu louche !

De même, si la limite est pas dans l'intervalle, c'est qu'il n'y a pas de point fixe... sur l'intervalle ! Donc pour les ouverts où la limite est sur le bord, c'est foutu...

Mais c'est un peu du n'importe quoi si on considère qu'il suffit juste de le fermer (dans le cas où la limite est finie) pour rendre tout ça valable.

Ces questions sont fondées, mais au final, on tourne en rond je trouve.

[chombier]

Salut !

J'ai cherché il y a quelques temps si vraiment on avait besoin de la continuité, car j'en parlais à une de mes élèves de Terminale. En l'occurrence, je ne me suis pas convaincu que c'était vital. En fait, il semble que l'hypothèse de convergence et de continuité soient très liées.

Bref.
Si jamais on suppose que , f(l) a donc pour sens qui serait donc infini...

La question est de savoir si on considère l'infini comme un point fixe. C'est un peu louche !

De même, si la limite est pas dans l'intervalle, c'est qu'il n'y a pas de point fixe... sur l'intervalle ! Donc pour les ouverts où la limite est sur le bord, c'est foutu...

Mais c'est un peu du n'importe quoi si on considère qu'il suffit juste de le fermer (dans le cas où la limite est finie) pour rendre tout ça valable.

Ces questions sont fondées, mais au final, on tourne en rond je trouve.

La continuité est indispensable. Je suis catégorique.

Dans le cours de mon prof I est fermé, ce qui évite la deuxième question questions. Mais il n'est pas borné, ce qui m'a amené à m'interroger, consulter le site de M. Costantini, et me poser encore plus de questions :marteau:

En ce qui concerne le cours de mon prof, je suppose que quand il écrit "", il entends "la suite est convergente de limite l", et donc que l est réel (mais la notation laisse un peu planer le doute). J'attends que son poly soit en ligne pour me faire les dents.

Le fait que si u_n tend vers +l'infini alors f tends vers +l'infini me semble intuitivement juste mais reste à prouver. Et non, l'infini n'est pas un point fixe de f

BREF j'ai mal lu, dans le poly de M. Costantini a bien indiqué , donc je vais me flageller avec des orties fraiches.

ps : je ne vois pas trop en quoi "fermer l'intervalle" serait une entourloupe, c'est très courant comme restriction (une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée ; si l'intervalle n'est pas fermé, cela devient faux en général)

[BiancoAngelo]

La continuité est indispensable. Je suis catégorique.

Dans le cours de mon prof I est fermé, ce qui évite la deuxième question questions. Mais il n'est pas borné, ce qui m'a amené à m'interroger, consulter le site de M. Costantini, et me poser encore plus de questions :marteau:

En ce qui concerne le cours de mon prof, je suppose que quand il écrit "", il entends "la suite est convergente de limite l", et donc que l est réel (mais la notation laisse un peu planer le doute). J'attends que son poly soit en ligne pour me faire les dents.

Le fait que si u_n tend vers +l'infini alors f tends vers +l'infini me semble intuitivement juste mais reste à prouver. Et non, l'infini n'est pas un point fixe de f

BREF j'ai mal lu, dans le poly de M. Costantini a bien indiqué , donc je vais me flageller avec des orties fraiches.

Hihihi.

Oui, ça me semble dingue avec la non continuité.
Mais as-tu un exemple où ça ne fonctionne pas, plus précisément, en en prenant une continue par morceaux ?

[zygomatique]

salut

il n'y a aucun problème ::

l'écriture f(l) = l impose implicitement que l est un nombre "fini" (qui n'est pas +oo dans le cas où I serait un intervalle du type [a, +oo[ ou ]a, +oo[) (on n'écrit pas f(oo) = oo !!!)

deuxième question :: I est ouvert et (u_n) --> l alors forcément l est borne sup ou inf de I et on a forcément que f est définie en l avec f(l) = l

puisque si (u_n) converge (vers l) et u_{n + 1} = f(u_n) alors par passage à la limite f(l) = l


donc on peut très bien fermer l'intervalle I ... surtout quand f(I) C I ...

[mathelot]

est point fixe, mais il faut fermer l'intervallle I pour être certain que .
(sinon on prend l sur le bord de I).La notation sous entend que

[chombier]

Hihihi.

Oui, ça me semble dingue avec la non continuité.
Mais as-tu un exemple où ça ne fonctionne pas, plus précisément, en en prenant une continue par morceaux ?

Oui : f(x) = x^2 si x>0, f(x) = -1 sinon.
u_0 = 1/2.
u_n -> 0 mais 0 n'est pas un point fixe de f

[chombier]

salut

il n'y a aucun problème ::

l'écriture f(l) = l impose implicitement que l est un nombre "fini" (qui n'est pas +oo dans le cas où I serait un intervalle du type [a, +oo[ ou ]a, +oo[) (on n'écrit pas f(oo) = oo !!!)

deuxième question :: I est ouvert et (u_n) --> l alors forcément l est borne sup ou inf de I et on a forcément que f est définie en l avec f(l) = l

puisque si (u_n) converge (vers l) et u_{n + 1} = f(u_n) alors par passage à la limite f(l) = l


donc on peut très bien fermer l'intervalle I ... surtout quand f(I) C I ...

Oui mais l'écriture f(l)=l est dans la conclusion du théorème.
L'écriture qui me semble ambigüe est limite(u)=l, où on ne sait pas trop si l est réel ou s'il peut valoir + ou - l'infini.

Ensuite je ne suis pas d'accord avec la deuxième partie.
Soit I doit être fermé, soit il doit être spécifié que lim(u)=l élément de I dans les hypothèses.

Parce que si u_n converge vers l, et que I est ouvert, rien ne prouve a priori que l est dans I.

Je reprends mon exemple : f est définie sur ]0;1[ par f(x)=x^2.
I est stable par f et u_0 = 1/2 appartient à I
Pourtant limite(u)=0, qui n'est pas un élément de I, et donc pas un point fixe de f.

[zygomatique]

Oui mais l'écriture f(l)=l est dans la conclusion du théorème.
L'écriture qui me semble ambigüe est limite(u)=l, où on ne sait pas trop si l est réel ou s'il peut valoir + ou - l'infini.

Ensuite je ne suis pas d'accord avec la deuxième partie.
Soit I doit être fermé, soit il doit être spécifié que lim(u)=l élément de I dans les hypothèses.

Parce que si u_n converge vers l, et que I est ouvert, rien ne prouve a priori que l est dans I.

Je reprends mon exemple : f est définie sur ]0;1[ par f(x)=x^2.
I est stable par f et u_0 = 1/2 appartient à I
Pourtant limite(u)=0, qui n'est pas un élément de I, et donc pas un point fixe de f.

et alors f est bien définie en 0 ....et 0 = inf ]0, 1[ donc on peut prendre I = [0, 1]


et 0 est un point fixe de f !!!!! f(0) = 0 !!!!

[chombier]

et alors f est bien définie en 0 ....et 0 = inf ]0, 1[ donc on peut prendre I = [0, 1]

et 0 est un point fixe de f !!!!! f(0) = 0 !!!!

Dans mon exemple, f est définie sur ]0 ; 1[. La suite est bien définie, puisque tous les termes de la suite sont dans ]0 ; 1[. La suite converge vers 0, qui n'appartient pas à ]0 ; 1[

On suppose juste que la suite est convergente, et c'est parce que I est fermé qu'on peut affirmer que cette limite est dans I.

Il n'y a pas de "oui mais si on change la définition de f en la prolongeant par continuité en 0" alors ça marche qui tienne.

Franchement c'est gentil d'essayer de m'aider mais il faudrait éviter les phrases péremptoires quand on n'est pas sur de son coup à 100%.

[zygomatique]

Dans mon exemple, f est définie sur ]0 ; 1[. La suite est bien définie, puisque tous les termes de la suite sont dans ]0 ; 1[. La suite converge vers 0, qui n'appartient pas à ]0 ; 1[

On suppose juste que la suite est convergente, et c'est parce que I est fermé qu'on peut affirmer que cette limite est dans I.

Il n'y a pas de "oui mais si on change la définition de f en la prolongeant par continuité en 0" alors ça marche qui tienne.

Franchement c'est gentil d'essayer de m'aider mais il faudrait éviter les phrases péremptoires quand on n'est pas sur de son coup à 100%.

MDR

et alors ?

tu peux considérer la fonction carrée sur ]0, 1[ il n'empêche qu'elle existe sur R !!!!!!!!!!!!!!

et que 0 et 1 sont des points fixes de g définie comme la fonction carrée sur [0, 1]

et que f = g sur ]0, 1[


d'ailleurs ce n'est pas tant le fait que I soit fermé ou non qui compte mais sa complétude ...

il suffit de considérer la suite définie par récurrence par qui converge vers

et tu considère

alors f(I) C I et est point fixe de f

:ptdr:

[chombier]

MDR

et alors ?

tu peux considérer la fonction carrée sur ]0, 1[ il n'empêche qu'elle existe sur R !!!!!!!!!!!!!!

et que 0 et 1 sont des points fixes de g définie comme la fonction carrée sur [0, 1]

et que f = g sur ]0, 1[


d'ailleurs ce n'est pas tant le fait que I soit fermé ou non qui compte mais sa complétude ...

il suffit de considérer la suite définie par récurrence par qui converge vers

et tu considère

alors f(I) C I et est point fixe de f

:ptdr:

Bah oui, le théorème marche avec g mais pas avec f.

f n'est pas la fonction carré mais la restriction de la fonction carré à l'intervalle ]0;1[. Ce ne sont pas les même fonctions.

Si on change la fonction, ça marche. OK.

[BiancoAngelo]

Bah oui, le théorème marche avec g mais pas avec f.

f n'est pas la fonction carré mais la restriction de la fonction carré à l'intervalle ]0;1[. Ce ne sont pas les même fonctions.

Si on change la fonction, ça marche. OK.

Du coup on marche sur la tête...
Prendre une fonction et enlever la limite au bord, ce n'est pas vraiment intéressant...

Un VRAI exemple, avec une fonction continue par morceaux, sans ce faux argument d'enlever la limite en ouvrant un crochet.

Car finalement, c'est juste une pirouette.
Vu que ta suite est définie chez les positifs, on peut prendre la fonction x² sur ]0;1].
Tu dis qu'elle n'a pas de point fixe sur l'intervalle. Ok.

Mais, limite quand x tend vers 0+ = 0.
C'est un point fixe d'un côté (si on le définit ainsi).

Donc je trouve (sans être méchant) que c'est ton exemple qui est péremptoire ! (s'il faut sortir les grands mots :we: ).

[chombier]

Du coup on marche sur la tête...
Prendre une fonction et enlever la limite au bord, ce n'est pas vraiment intéressant...

Un VRAI exemple, avec une fonction continue par morceaux, sans ce faux argument d'enlever la limite en ouvrant un crochet.

Car finalement, c'est juste une pirouette.
Vu que ta suite est définie chez les positifs, on peut prendre la fonction x² sur ]0;1].
Tu dis qu'elle n'a pas de point fixe sur l'intervalle. Ok.

Mais, limite quand x tend vers 0+ = 0.
C'est un point fixe d'un côté (si on le définit ainsi).

Donc je trouve (sans être méchant) que c'est ton exemple qui est péremptoire ! (s'il faut sortir les grands mots :we: ).

,

A ton service

[zygomatique]

ne comprends-tu pas que tu poses des exemples artificiels !!!

et qui ne contredisent en rien ce théorème ...

[chombier]

ne comprends-tu pas que tu poses des exemples artificiels !!!

et qui ne contredisent en rien ce théorème ...

Mais LOL. Il va falloir me dire ce qu'est une fonction "artificielle", je ne connais pas :ptdr:

Bon, je ne vais pas passer 107 ans là dessus mais...

La fonction f est définie sur ] 0 ; +l'infini [
L'intervalle ] 0 ; +l'infini [ est stable par f
u_0 appartient à I
Enfin, la fonction f est continue sur I et la suite u est convergente de limite 0.

Les conditions du théorème (sans la contrainte "I est borné") sont toutes réunies, n'est-ce pas ?

Pourtant, 0 n'est pas un point fixe de f.

La conclusion du théorème est fausse.

C'est bien que si on néglige cette contrainte dans l'hypothèse, le théorème ne fonctionne pas.


Je ne comprends pas cette détermination à me contredire avec un (et même deux) contres exemples sous les yeux.

[BiancoAngelo]

Mais LOL. Il va falloir me dire ce qu'est une fonction "artificielle", je ne connais pas :ptdr:

Bon, je ne vais pas passer 107 ans là dessus mais...

La fonction f est définie sur ] 0 ; +l'infini [
L'intervalle ] 0 ; +l'infini [ est stable par f
u_0 appartient à I
Enfin, la fonction f est continue sur I et la suite u est convergente de limite 0.

Les conditions du théorème (sans la contrainte "I est borné") sont toutes réunies, n'est-ce pas ?

Pourtant, 0 n'est pas un point fixe de f.

La conclusion du théorème est fausse.

C'est bien que si on néglige cette contrainte dans l'hypothèse, le théorème ne fonctionne pas.


Je ne comprends pas cette détermination à me contredire avec un (et même deux) contres exemples sous les yeux.

Ce n'est pas pour t'embêter, c'est plutôt parce que même si ces (contre-)exemples sont valables, ils sont que très très bof.

Je m'explique : la fonction que tu viens de donner se prolonge super bien en 0 et comme par hasard, ça crée un point fixe.

Donc tu as encore ouvert l'intervalle au point limite. Ce n'est pas intéressant.
Ta fonction n'est pas définie là, ok, mais c'est juste une illusion ! Une blague en fait :ptdr:

J'aimerais une réelle fonction continue par morceaux, où ça converge, et que la limite ne soit absolument pas un point limite de l'intervalle en question.

Je pourrai très bien rétorquer que ta suite ne converge pas sur l'ensemble ...

Si tu préfères, ce sont des exemples de problème de fermeture (ou de complétude, c'est une vision de la chose), pas de continuité !

[BiancoAngelo]

J'imagine un exo sur les suites qui commencerait par :

Soit u définie par et f une fonction continue sauf en tous ses points fixes de valeur arbitraire pour la rendre discontinue :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[chombier]

J'imagine un exo sur les suites qui commencerait par :

Soit u définie par et f une fonction continue sauf en tous ses points fixes de valeur arbitraire pour la rendre discontinue :ptdr: :ptdr: :ptdr:

J'imagine bien dans un colloque de mathematiciens :
- votre théorème est faux, j'ai un exemple où il est mis en défaut
- ça ne compte pas, votre exemple est artificiel, et en plus il est moche :mur:

[BiancoAngelo]

J'imagine bien dans un colloque de mathematiciens :
- votre théorème est faux, j'ai un exemple où il est mis en défaut
- ça ne compte pas, votre exemple est artificiel, et en plus il est moche :mur:

Non non, ce n'est pas moche ce que tu dis, c'est tout à fait valable.
Ce que je souhaite te dire, avec aucune idée négative, c'est que je cherche un exemple où on met en défaut réellement la continuité. Là, c'est l'histoire d'une limite en dehors...

Sans quoi, pour le répéter, ce que tu as écrit est très juste :lol3: et je dis cela bien humblement.
Le but, c'est bien sûr le partage