yos a écrit:Et pour en rajouter dans la substitution, ceci reste vrai avec A-xId à la place de A (sauf éventuellement pour un nombre fini de x). Donc les polynômes caractéristiques coïncident.
Oui, bonne idée, mais juste une critique : pourquoi confondre fonctions polynomiales et polynômes, pour ensuite avoir des problèmes sur un nombre fini de x ?? et si on travaille sur un corps fini, comment fait-on ?? J'entends souvent la réponse : on s'en fout, on se place sur R ou C ! (remarquer quand même que l'exo est sur un corps K quelconque...)
Ok, on a démontré précédemment que A et A+N ont le même déterminant, sur un corps quelconque (vous allez voir que c'est important de travailler sur des corps quelconques et non seulement R ou C...).
Pour moi, le X de est une indéterminée, c'est-à-dire que est un polynôme en X, non nul car de degré n. Du coup est inversible dans le corps K'=K(X) ! On applique donc le résultat précédent avec (matrices inversibles à coeff dans K' ), d'où l'égalité :
sans prendre de précautions sur des valeurs particulières de certains x...
PS : et puis le polynôme caractéristique de M, c'est plutôt (cf Bourbaki) : ainsi le polynôme caract. est unitaire (comme le polynôme minimal, le pgcd, etc.)