Nilpotence quand tu nous tiens

[leon1789]

Et pour en rajouter dans la substitution, ceci reste vrai avec A-xId à la place de A (sauf éventuellement pour un nombre fini de x). Donc les polynômes caractéristiques coïncident.

Oui, bonne idée, mais juste une critique : pourquoi confondre fonctions polynomiales et polynômes, pour ensuite avoir des problèmes sur un nombre fini de x ?? et si on travaille sur un corps fini, comment fait-on ?? J'entends souvent la réponse : on s'en fout, on se place sur R ou C ! (remarquer quand même que l'exo est sur un corps K quelconque...)

Ok, on a démontré précédemment que A et A+N ont le même déterminant, sur un corps quelconque (vous allez voir que c'est important de travailler sur des corps quelconques et non seulement R ou C...).

Pour moi, le X de est une indéterminée, c'est-à-dire que est un polynôme en X, non nul car de degré n. Du coup est inversible dans le corps K'=K(X) ! On applique donc le résultat précédent avec (matrices inversibles à coeff dans K' ), d'où l'égalité :
sans prendre de précautions sur des valeurs particulières de certains x...



PS : et puis le polynôme caractéristique de M, c'est plutôt (cf Bourbaki) : ainsi le polynôme caract. est unitaire (comme le polynôme minimal, le pgcd, etc.)

[yos]

J'entends souvent la réponse : on s'en fout, on se place sur R ou C ! (remarquer quand même que l'exo est sur un corps K quelconque...)

Les corps de base "quelconques" en prépa-licence, c'est R ou C non? Le raisonnement que tu proposes est pas usuel dans ces classes.

PS : et puis le polynôme caractéristique de M, c'est plutôt (cf Bourbaki) : ainsi le polynôme caract. est unitaire (comme le polynôme minimal, le pgcd, etc.)

Je sais pas quelle est la convention en vigueur mais si on doit suivre Bourbaki pour les conventions, on va dans le mur. Pour ce cas précis, ça n'a pas beaucoup d'importance.

[leon1789]

En fait, vu la preuve de yos, l'hypothèse de commutativité entre A et N de sert à rien puisqu'on travaille sur un corps : .

Les corps de base "quelconques" en prépa-licence, c'est R ou C non? Le raisonnement que tu proposes est pas usuel dans ces classes.

Ils n'étudient ni Q, ni les corps des fractions rationnelles R(X) et C(X) ??

Je sais pas quelle est la convention en vigueur mais si on doit suivre Bourbaki pour les conventions, on va dans le mur. Pour ce cas précis, ça n'a pas beaucoup d'importance.

Certes, que le polynôme soit unitaire ou pas n'a pas d'importance fondamentale (éléments premiers, pgcd et polynome minimal sont définis à un inversible près... en fait, toute l'arithmétique se fait à inversible près), mais bon, dire "Bourbaki = mur", c'est pas bien !

C'est quand même pas difficile de dire X est inversible de R(X) et de l'appliquer : on voit ici l'intérêt des structures. Les maths, c'est ça entre autres... et non, des bidouilles régulières (utilisations abusives de densité, fonctions polynomiales, corps algébriquement clos, etc.) faisant naître des confusions et des peurs. C'est mon avis simplement...

[yos]

En fait, vu la preuve de yos, l'hypothèse de commutativité entre A et N de sert à rien puisqu'on travaille sur un corps : .

Sans la commutativité de A et N, n'est plus nilpotente.
C'est d'ailleurs ce qui rend l'exo assez pauvre : une matrice qui commute avec A et qui est nilpotente, ça limite énormément.

[leon1789]

Sans la commutativité de A et N, n'est plus nilpotente.

ah oui c'est vrai. Merci de cette correction.