Gilles Costantini : aidez nous à comprendre ses cours, aidez

[paquito]

Bonjour Angelo,

tu aimes bien chercher et c'est bien agréable; j'ai aussi l'intuition que ton résultat est valable car j'ai beau chercher des contre-exemples, ça ne marche pas car on a au moins 2 morceaux de part et d'autre (strictement) de y=x et on passe de l'un à l'autre ce qui ne permet pas la convergence (c'est mal expliqué; un dessin est bien plus clair), mais je pense qu'on peut démontrer ton théorème.

J'ai un autre truc en cours: que se passe t'il si I est compact et si ; je t'envoie un message un peu plus tard.

[paquito]

Je pense qu'il faut partir d'une fonction définie suret continue par morceau i.e. f admet un nombre de points de discontinuité fini et simples réel etréel . sinon, si on part de je ne sais pas ce qui peut se passer! quand à une fonction dont le nombre de point de discontinuité est dénombrable comme sur si est irrationnel et ,si est rationnel et admet comme écriture irréductible . est un point fixe; et après?

Sinon, si je supposecompact,, qu'estqu'on obtient?
posons
Déjà, g continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes; soit sa borne inférieure et supposons ; soitun élément de tel que ; définissons la suite telle que ; on a vite et même , sinon on a une contradiction; ou pour tout n conduit à une nouvelle contradiction car est borné; on doit donc avoir pour un entier et ; donc la fonction continue prenant des valeurs et <0 s'annule et donc admet un point fixe et n'est pas la borne inf.

Suite très bientôt!

[BiancoAngelo]

Je pense qu'il faut partir d'une fonction définie suret continue par morceau i.e. f admet un nombre de points de discontinuité fini et simples réel etréel . sinon, si on part de je ne sais pas ce qui peut se passer! quand à une fonction dont le nombre de point de discontinuité est dénombrable comme sur si est irrationnel et ,si est rationnel et admet comme écriture irréductible . est un point fixe; et après?

Sinon, si je supposecompact,, qu'estqu'on obtient?
posons
Déjà, g continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes; soit sa borne inférieure et supposons ; soitun élément de tel que ; définissons la suite telle que ; on a vite et même , sinon on a une contradiction; ou pour tout n conduit à une nouvelle contradiction car est borné; on doit donc avoir pour un entier et ; donc la fonction continue prenant des valeurs et <0 s'annule et donc admet un point fixe et n'est pas la borne inf.

Suite très bientôt!

Salut paquito, toujours intéressant de traiter ces cas de recherche avec toi

Pour le premier exemple, on a donc f(0) = 0, un autre point fixe.
Et pour tout n entier supérieur à 0, f(1/n) = 1/n, donc une infinité de point fixe.
Donc cette suite converge pour tout x de l'intervalle, si x irrationnel, ça fait 0, et ça reste en 0.
Sinon, si x rationnel p/q, ça envoie sur 1/q qui reste en 1/q.
On n'est donc pas dans un cas de nombre de points fixe fini.
Si j'ai bien compris ton énoncé...

J'ai remarqué, en imaginant des suites tordues comme ça, qu'il valait mieux ne pas prendre une infinité de discontinuité, sinon ça convergeait trop facilement ! :ptdr:

EDIT : et pour le 2) avec les hypothèses, c'est intéressant, mais pourquoi étudies-tu ce cas ? Pour l'appliquer ensuite à quelles fonctions ?

[paquito]

Bonjour,

On a donc une fonction discontinue et qui admet une infinité de points fixes et qui converge tout le temps; tu as raison, c'est le cas d'une fonction admettant un nombre fini de points de discontinuité et aucun point fixe même limite qui va être intéressant; on peut se placer sur et faire des dessins; je pense qu'faut exclure le cas où toute la courbe est d'un côté de y=x, puis montrer qu'on passera forcément d'un côté dans l'autre; on peut commencer par une courbe en 2 morceaux pour voir, mais je suis persuadé que ton théorème est vrai.

En ce qui me concerne, je voulais voir ce que devenait le théorème du point fixe si l'on prenait la condition moins restrictive , mais compact;
j'ai pu montrer que f admettait au moins un point fixe , mais je n'ai ni l'unicité du point fixe, ni la convergence de.
Exemples; sur , si , , si et , si ; j'ai une une infinité de points fixes et ça converge tout le temps; ou alors:

sur , , si ; , si et , si ; là j'ai un point fixe unique, ; pour et la suite converge vers ; sinon je n'ai que des cas du type ; etc...

Donc, je n'ai que l'existence d'un point fixe, pas son unicité même si un point fixe isolé entraîne son unicité et surtout, je ne peux rien affirmer sur la convergence;
conclusion: ça peut faire un exo, c'est tout.

[BiancoAngelo]

Bonjour,

On a donc une fonction discontinue et qui admet une infinité de points fixes et qui converge tout le temps; tu as raison, c'est le cas d'une fonction admettant un nombre fini de points de discontinuité et aucun point fixe même limite qui va être intéressant; on peut se placer sur et faire des dessins; je pense qu'faut exclure le cas où toute la courbe est d'un côté de y=x, puis montrer qu'on passera forcément d'un côté dans l'autre; on peut commencer par une courbe en 2 morceaux pour voir, mais je suis persuadé que ton théorème est vrai.

En ce qui me concerne, je voulais voir ce que devenait le théorème du point fixe si l'on prenait la condition moins restrictive , mais compact;
j'ai pu montrer que f admettait au moins un point fixe , mais je n'ai ni l'unicité du point fixe, ni la convergence de.
Exemples; sur , si , , si et , si ; j'ai une une infinité de points fixes et ça converge tout le temps; ou alors:

sur , , si ; , si et , si ; là j'ai un point fixe unique, ; pour et la suite converge vers ; sinon je n'ai que des cas du type ; etc...

Donc, je n'ai que l'existence d'un point fixe, pas son unicité même si un point fixe isolé entraîne son unicité et surtout, je ne peux rien affirmer sur la convergence;
conclusion: ça peut faire un exo, c'est tout.

Oui, les comportements sont dignes d'exercices, en effet

Sinon, pour revenir à l'étude en cas de discontinuités, on peut regarder la contraposée, à savoir :
ne converge pas

Et justement, dans cette recherche, le fait que devienne périodique n'est pas anodin je pense...

[chombier]

Bonjour paquito,

Merci de ton exemple.
Je crois je n'aurais pas du lancer cette histoire...

Encore une fois, l'exemple que tu fournis, même s'il n'y a pas de point fixe au sens pur, est un point fixe dans une définition personnelle que j'ai mise au dessus...

Il serait bien d'écarter ces cas où la discontinuité est "comme par hasard" au niveau de la limite.

Apparemment, vue la difficulté à trouver des exemples parlants (ou même un seul), je pense que ça illustre plutôt bien le fait qu la convergence de la suite et l'hypothèse de la continuité sont "hyper" liées.

Si je repose ma question ainsi (ultime tentative, après, de toute façon, ça reste ma vision de la chose...) :

Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).

On suppose que cette suite converge.
Alors la limite de cette suite, qu'on peut noter L, est soit la limite à gauche soit la limite à droite de f en L (correspondance au point fixe "retravaillé").


C'est dans cette optique qu'il est intéressant de travailler je trouve. Car la notion de point fixe (pur) est trop restrictive.

Maintenant, ce que j'ai écrit en rouge, peut peut-être être invalidé par un contre-exemple...
C'est la question en tant que tel.
Et même si personne ne donne de contre exemples, ce n'est pas grave...
Mon but était d'illustrer ce cas un peu plus intéressant... je trouve.

La fonction de Dirichlt est un bon contre exemple :

Elle est definie sur [0 ; 1] par :
f(x) = 0 si x est rationnel
f(x) = 1 si x est irrationnel

Elle converge vers 1 quel que soit u0 et n'est continué no à droite, ni à gauche en 1

[BiancoAngelo]

La fonction de Dirichlt est un bon contre exemple :

Elle est definie sur [0 ; 1] par :
f(x) = 0 si x est rationnel
f(x) = 1 si x est irrationnel

Elle converge vers 1 quel que soit u0 et n'est continué no à droite, ni à gauche en 1

Salut,

converge toujours vers 0 plutôt.

Et 0 est un point fixe (dans ce que j'ai mis en rouge, c'était sous-jacent qu'on n'est pas de point fixe "pur", du coup je ne l'avais pas remis).

[BiancoAngelo]

Donc la conjecture devient (merci quand même d'avoir mis ce cas, je peux rectifier l'écriture) :

Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).

On suppose que cette suite converge.
Alors la limite de cette suite, qu'on peut noter L, est soit la limite à gauche soit la limite à droite de f en L, soit un point fixe de f.

[chombier]

Donc la conjecture devient (merci quand même d'avoir mis ce cas, je peux rectifier l'écriture) :

Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).

On suppose que cette suite converge.
Alors la limite de cette suite, qu'on peut noter L, est soit la limite à gauche soit la limite à droite de f en L, soit un point fixe de f.

Contre exemple : I = [0 ; 1]
A = { 1 / n, n entier naturel non nul }. A est inclus dans I

A = { 1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; ... }

si x=1/n pour un certain entier n non nul, et f(x)=1/(n+1)
sinon, si x n'est pas dans A, f(x)=pi

u0 = 1

On peut montrer par récurrence que pour tout n, u_n est dans A ;
que u_n converge vers 0.

Mais la limite à droite de f en zéro n'existe pas.

[zygomatique]

attention :: pi n'est pas dans [0, 1]

plutôt f(x) = 1/pi ...

... ha ouais mézalor 1/pi est point fixe ....


tiens une fonction pour le fun (elle est du même genre que celle de Paquito avec la partie entière)



les (...< x < ..) sont des fonctions logiques ( = 1 si vrai, = 0 si faux)

alors 0, 1/2 et 2/3 sont des points fixes

1/2 n'est jamais atteint (sauf avec le terme initial = 1/2 et donc la suite est constante ... donc guère d'intérêt)

[wserdx]

Si on part juste de ceci:

Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).

On suppose que cette suite converge vers L.

je ne crois pas qu'on puisse aller très loin. On peut cependant dire que le graphe de f possède un point d'adhérence en (L,L), ce qui n'est pas loin de l'idée de point fixe. Est-ce que ça peut servir à quelqu'un ?
Je pense que l'intérêt premier du lot de théorèmes cités dans le fil, est l'étude des suites récurrentes définies par pour une fonction f donnée. Le ou les théorèmes concernés permettent de dire que si f a de bonnes propriétés de régularité, (continuité, contractante, lipschitz, etc) et pas trop de problèmes pathologiques alors on peut "prédire" si une telle suite converge ou pas et vers quoi, ce qui peut s'avérer utile.

En revanche si on prend le problème à l'envers, c'est à dire qu'on se donne une ou plusieurs (voire un nombre infini non dénombrable) de suites convergentes, et qu'on peut supposer pour tous , on peut définir a postériori f par et je dirais qu'intuitivement on peut donner à f n'importe quelle propriété convenue à l'avance. On pourra dire cependant que pour toute limite L d'une telle suite, le point (L,L) est point d'adhérence du graphe de f. Voila, je ne sais pas si mon point de vue est clair et utile.

[zygomatique]

c'est exactement ce que je disais plus haut ...

un théorème ne dit que ce qu'il dit :: sous certaines hypothèses on en déduit telle conclusion ...

maintenant on peut s'intéresser de savoir ce qui se passe quand on restreint les hypothèses ...

certains exemples ci-dessus ont consister à enlever artificiellement le point fixe ... mais n'ont pas (vraiment) abouti car on pouvait prolonger par continuité dans certains cas ...

mais effectivement (et comme je l'ai dit plus haut) et chombier ne l'a peut-être pas senti c'est que pour "écrire f(l) = l" il faut évidemment que l soit dans I puisque f "est définie" sur I (ce qui ne veut pas dire que f n'est pas définie hors de I) et que c'est un implicite ....

d'autres exemples ont essayé de conduire à voir ce qui se passe si f n'est pas continue .... mais ne sont pas concluants ...

le joli exemple de Paquito avec sa partie entière ne convient pas ... car en distinguant les cas on arrive à donner une expression de f qui admet un point fixe (qu'on a retiré ou non) ....

par contre il me semble que ta conclusion résume la situation en général ::

On pourra dire cependant que pour toute limite L d'une telle suite, le point (L,L) est point d'adhérence du graphe de f.

....

[paquito]

Pour voir ce qui se passe avec une fonction admettant un nombre fini de pointsde discontinuité , je propose de commencer par le commencement; donc soit f définie sur avec et admettant un point de discontinuité unique; on exclut les valeurs 0 ou 1 qui créerait une situation artificielle (point isolé et point fixe obligatoire) et soit a le point de I=[0; 1] où se situe la discontinuité;
tout d'abord , on ne peut pas avoir sur car sinon aurait d'où;de même on ne peut avoir sur ce évite de trop parler de limite à gauche ou à droite et que f coïncide avec une fonction continue f_2 sur , f_2 vérifiant tel que; de même tel que et finalement .

Initialisons notre suite par [ (a ne pose pas plus de problème) la relation prouve que la suite est croissante tant que avec mais on est rentré dans le domaine de et va devenir décroissante pour un nombre fini de valeurs de, d'où l'existence d'un entier tel que et donc ne pouvant être une suite de Cauchy diverge.

Remarques: tout est plus clair avec une figure; la discontinuité est la plus simple possible; je ne sais pas ce que peut donner le cas où f n'admet pas de limite en a;sinon ça doit pouvoir s'adapter à un nombre fini de points de dicontinuité simple.

[zygomatique]

je te propose les deux fonctions ::






les (...< x < ...) sont des fonctions logiques ( = 1 si vrai, = 0 si faux)

alors 0, 1/2 et 2/3 sont des points fixes de f

1/2 n'est jamais atteint (sauf avec le terme initial = 1/2 et donc la suite est constante ... donc guère d'intérêt)

g est un exemple de ce que tu démontres ....


si et f est continue alors converge vers l tel que f(l) = l si un tel l existe dans I

[paquito]

Ceque je démontre, c'est que si f admet un nombre fini de points de discontinuité de 1°espèce sans point fixe, alorsdiverge et en prime, on a une alternance de séquences alternativement croissante et décroissantes; améliorons la 1° mouture:
est définie sur et ;
1) est impossible sur
2) Si , continue sur a une borne inf; prenant un nombre fini de valeurs, ,tel qu ;
4) il en résulte que .
5) La suite n'étant pas une suite de Cauchy est donc divergente.

Donc dans ce cas, le résultat d'Angelo s'applique.

6)applications: conjecturer! soit f définie par sur et sur ; on peut donner les 50 premiers termes de; la conjecture sera que est croissante et a pour limite ; ce qui est faux, mais nos élèves sont habitués à des conjectures évidentes et qui sont vraies, ce qui leur rapporte un point gratuit au bac et ils pensent qu'une conjecture a valeur de démonstration; je n'ai jamais vu une conjecture fausse; on en pensera ce qu'on voudra!

[BiancoAngelo]

Merci pour vos commentaires, exemples et apports à cette question que je me posais.
La conjecture : ahah, exactement, le point gratuit... :we:
Théoriquement, on pourrait y répondre ce qu'on veut :we:

Il est rigolo ce dernier exemple où on crée la fonction pour contredire une conjecture :p

[paquito]

Pour faire une synthèse,:

Si est continue surà valeurs dans et si est définie par et , alors:

1) si est continue sur alors admet au moins un point fixe et si converge c'est vers un de ces point fixe.

2) si admet un nombre fini de points de discontinuité simples, na pas de point fixe mais si est adhérent à la 1° bissectrice, alors peut converger vers avec;(Bien sûr f peut admettre un point fixe et être discontinue, auquel cas peut converger vers ce point fixe)

3) si f admet un nombre fini de points de discontinuité simple, na pas de point fixe et si n'est pas adhérent à la 1° bissectrice, alors diverge avec un comportement relativement chaotique.

4) Enfin, si f est discontinue en a car f n'a pas de limite en a, on peut avoir des cas critiques du genre avec différent de ;n'est discontinue qu'en qui n'est pas un point fixe; toutefois admet une infinité de points fixes tous répulsifs, donc fera n'importe quoi sauf converger!

[Doraki]

3) Enfin si f admet un nombre fini de points de discontinuité simple, na pas de point fixe et si n'est pas adhérent à la 1° bissectrice, alors diverge avec un comportement relativement chaotique.

une suite périodique, ça a un comportement relativement chaotique ?

[paquito]

une suite périodique, ça a un comportement relativement chaotique ?

Une suite vraiment périodique, il faut le faire exprès! En fait la suite va faire un va et viens entre 2 intervalles mais il est tout a fait improbable qu'elle reprenne une valeur déjà prise.
Même au niveau des deux intervallespeut rester dans pendant 100 termes avant de passer 1 seule fois dans; ce qui est périodique c'est le sens de variation( période croissante,puis décroissante et vice verca)

[zygomatique]

ma fonction g fait exactement cela ...