Hyperplan quand tu nous tiens

[Science]

Bonjour j'ai une démonstration à faire concernant les hyperplans et formes linéaires que j'ai disons accompli à 70%.
Voici le théorème :
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n supérieur à 2 et H un sous-espace vectoriel de E.
On a équivalence entre :
a)dim(H)=n-1.
b)Il existe une droite vectorielle D (cad un espace de dimension 1) telle que E soit la somme directe de H et D.
c)Il existe une forme linéaire de E dans K différente de l'application linéaire nulle telle que H=Ker(f).

J'ai déjà montré l'équivalence entre a et b mais je bloque sur le c. Une petite indication serait le bienvenu.

Merci.

Science

[Nightmare]

Salut,

b) => c)

Etant donné x dans E, par la décomposition on peut écrire avec lambda dans K. La forme linéaire recherchée est naturellement .

[benekire2]

Salut Science,

On pourrait même montrer (i) <=> (iii)

déjà tu remarquera que la réciproque est fastoche en remarquant que de toute façon le rang d'une forme linéaire est 0 ou 1 et que là on a une forme linéaire non nulle ... [et cela montre bien que il fallait suivre le raisonnement i => ii => iii => i ]

Pour l'implication directe c'est pas le plus direct :we: :

Prend une base de ton hyper plan H et ajoute lui un vecteur qui n'est pas dans H pour en faire une base de E. Puis prend la bonne forme linéaire "à la main"
En prenant la forme linéaire définie (pour les vecteurs de ta base) par f(ei)=0 pour i€[|1,n-1|] et f(en)=1 et conclus en étudiant le noyau de f.

[Science]

Salut,

b) => c)

Etant donné x dans E, par la décomposition on peut écrire avec lambda dans K. La forme linéaire recherchée est naturellement .

Hum pas bête moi j'étais plutôt parti en essayant de démontrer que c=>a mais ca me parait juste

[benekire2]

Bah nightmare a montré ii => iii donc il reste a faire iii => i et j'ai donné cette preuve ,

[Science]

Salut Science,

On pourrait même montrer (i) (iii)

déjà tu remarquera que la réciproque est fastoche en remarquant que de toute façon le rang d'une forme linéaire est 0 ou 1 et que là on a une forme linéaire non nulle ... [et cela montre bien que il fallait suivre le raisonnement i => ii => iii => i ]

Pour l'implication directe c'est pas le plus direct :we: :

Prend une base de ton hyper plan H et ajoute lui un vecteur qui n'est pas dans H pour en faire une base de E. Puis prend la bonne forme linéaire "à la main"
En prenant la forme linéaire définie (pour les vecteurs de ta base) par f(ei)=0 pour i€[|1,n-1|] et f(en)=1 et conclus en étudiant le noyau de f.

Salut Benekire, tu es sûr que ta forme linéaire est vraiment linéaire ? Le 1 me pose souci

[benekire2]

Oui elle l'est , pourquoi, qu'est-ce qui te pose problème ? [au pire t'as pas besoin de cette partie prend celle de nightmare pour montré ii=>iii et oublie le i=>iii]

PS. Enfin tu parles bien de ce passage : "En prenant la forme linéaire définie (pour les vecteurs de ta base) par f(ei)=0 pour i€[|1,n-1|] et f(en)=1 et conclus en étudiant le noyau de f." ? ?

Parce que ici tu prend la seule application linéaire qui envoie ces vecteurs sur les 0 et 1 et forcément cette application est linéaire par construction

[Science]

Excuse c'est moi qui ai pas assez réfléchi sûrement parce que il commence à faire tard lol.
En tout cas merci à vous deux.

[Nightmare]

Note qu'on a toujours la notion d'hyperplan en dimension infinie, en les définissant comme les noyaux des formes linéaires, comme dans c).

b) et c) restent équivalentes. a) n'a plus de sens, mais on peut la remplacer par "H est de codimension (=dimension d'un supplémentaire) égale à 1" qui est bien alors équivalente par définition à b).

On a aussi la caractérisation suivante, dans le cas fini comme infini, importante à remarquer (surtout dans le cas infini, le cas fini étant évident pour des raisons de dimension) : un sev H de E est un hyperplan si et ssi c'est un sous-espace vectoriel maximal (pour l'inclusion) de E, au sens où si un sev strict de E contient H, alors ça ne peut être que H lui même.

Essaye de démontrer ça (en utilisant la définition du c)), c'est facile.

[Science]

Ok je vais essayer demain mais je garantis rien lol
Au fait c'est quand qu'on voit la dimension infinie en Licence?

[Nightmare]

Il n'y a pas de cours qui s'intitule "la dimension infinie" tu t'en doutes bien :lol3: Normalement, quand on commence l'algèbre linéaire, on entend forcément parler de dimension infinie, même si les gros résultats sont dans un premier temps énoncé en dimension finie. Je pense que c'est en bac+2 qu'on commence à voir les généralisations. Le problème avec la dimension infinie, c'est que beaucoup de résultats (dont le résultat essentiel qui est que tout ev de dimension infinie admet une base) nécessitent l'axiome du choix (ou de manière équivalente, le lemme de Zorn), et ce n'est pas forcément un sujet très facile à aborder.

[benekire2]

Salut nightmare, très intéressante la sorte de "généralisation" que tu propose en dim infinie.