Gilles Costantini : aidez nous à comprendre ses cours, aidez

[chombier]

A mon avis un tel exemple n'existe pas.

Il faudrait prouver que tous les contre exemple sont moches, c'est à dire que si la suite u tend vers l et que l n'est pas dans ]a ; b], alors f tends vers a quand x tend vers a par valeur supérieure, et que dans tous les cas en prolongeant f par continuité en a, on fait apparaître un point fixe.

Je vais essayer quand j'aurais un peu de temps

[BiancoAngelo]

A mon avis un tel exemple n'existe pas.

Il faudrait prouver que tous les contre exemple sont moches, c'est à dire que si la suite u tend vers l et que l n'est pas dans ]a ; b], alors f tends vers a quand x tend vers a par valeur supérieure, et que dans tous les cas en prolongeant f par continuité en a, on fait apparaître un point fixe.

Je vais essayer quand j'aurais un peu de temps

En fait, si justement j'ai parlé de ça, c'est parce que comme je te l'expliquais au début du fil, j'avais dit à une élève que la continuité était nécessaire, car j'en étais "convaincu". Mais elle m'a dit que son prof (je suis prof au particulier) ne le précisait pas...

Donc j'ai réfléchi et je me suis dit que effectivement, si on la coupait grossièrement en morceaux, on n'arrivait plus à obtenir la convergence (sans point fixe, ça devient difficile). Alors sur le coup (je ne voulais pas passer trop de temps), je n'ai pas sorti d'exemple où ça ne fonctionnait pas, et je ne voulais pas parler d'une histoire de bord je pense (je cherchais à "couper" dans l'intervalle).

Ce que tu montres est effectivement l'exemple type, et c'est très juste de ta part (je le répète). Simplement, c'est frustrant de voir qu'on ne peut pas le dissocier du fait que ce soit un problème de bord.

Bon, en tout cas, quand ce n'est "vraiment pas continu", il paraît évident que ça va causer des problèmes... Et pourtant, ce n'est pas si trivial que ça que de trouver une fonction "pire que continue par morceaux" avec une suite qui converge et où, en plus, il n'y a pas de point fixe... et/ou ce ne soit pas une histoire de bord.

Je pointe là l'expression du théorème : il serait bien d'avoir un complément quand on nous le donne (dans la théorie) pour justifier si la continuité est une hypothèse ultra nécessaire, ou si ce n'est pas un peu de la poudre aux yeux...

[chombier]

En fait, si justement j'ai parlé de ça, c'est parce que comme je te l'expliquais au début du fil, j'avais dit à une élève que la continuité était nécessaire, car j'en étais "convaincu". Mais elle m'a dit que son prof (je suis prof au particulier) ne le précisait pas...

Donc j'ai réfléchi et je me suis dit que effectivement, si on la coupait grossièrement en morceaux, on n'arrivait plus à obtenir la convergence (sans point fixe, ça devient difficile). Alors sur le coup (je ne voulais pas passer trop de temps), je n'ai pas sorti d'exemple où ça ne fonctionnait pas, et je ne voulais pas parler d'une histoire de bord je pense (je cherchais à "couper" dans l'intervalle).

Ce que tu montres est effectivement l'exemple type, et c'est très juste de ta part (je le répète). Simplement, c'est frustrant de voir qu'on ne peut pas le dissocier du fait que ce soit un problème de bord.

Bon, en tout cas, quand ce n'est "vraiment pas continu", il paraît évident que ça va causer des problèmes... Et pourtant, ce n'est pas si trivial que ça que de trouver une fonction "pire que continue par morceaux" avec une suite qui converge et où, en plus, il n'y a pas de point fixe... et/ou ce ne soit pas une histoire de bord.

Je pointe là l'expression du théorème : il serait bien d'avoir un complément quand on nous le donne (dans la théorie) pour justifier si la continuité est une hypothèse ultra nécessaire, ou si ce n'est pas un peu de la poudre aux yeux...

Ah mais on ne parlait pas de la même chose. Que I soit fermé est nécessaire, et s'il ne l'est pas ça devient effectivement un problème de bord.

Si f n'est pas continue, c'est une autre histoire :

Dans la démonstration du théorème, on ne se sert de la continuité de f que pour déduire du fait que la suite u tend vers l que f(u_n) tend vers f(l).

On pourrait donc alléger les hypothèses : il suffit que f soit continue en l.

Et donc dans tout contre exemple, f ne sera pas continue en l.

Une version allégée du théorème serait donc :
Si hypothèse suivantes sont vérifiées :
- f est une fonction réelle définie sur un intervalle fermé I,
- f(I) est inclus dans I,
- u0 appartient à I et, n>=0, u_{n+1}=f(u_n)
- la suite u converge et a pour limite l,
- f est continue en l,
Alors l est un point fixe de f

Un dernier exemple pour la route :
si et



La suite u convergera vers mais n'est pas un point fixe.

C'est encore un exemple qui n'est pas des plus élégants, mais on ne trouvera pas mieux !

[BiancoAngelo]

Ah mais on ne parlait pas de la même chose. Que I soit fermé est nécessaire, et s'il ne l'est pas ça devient effectivement un problème de bord.

Si f n'est pas continue, c'est une autre histoire :

Dans la démonstration du théorème, on ne se sert de la continuité de f que pour déduire du fait que la suite u tend vers l que f(u_n) tend vers f(l).

On pourrait donc alléger les hypothèses : il suffit que f soit continue en l.

Et donc dans tout contre exemple, f ne sera pas continue en l.

Une version allégée du théorème serait donc :
Si hypothèse suivantes sont vérifiées :
- f est une fonction réelle définie sur un intervalle fermé I,
- f(I) est inclus dans I,
- u0 appartient à I et, n>=0, u_{n+1}=f(u_n)
- la suite u converge et a pour limite l,
- f est continue en l,
Alors l est un point fixe de f

Je suis d'accord avec toi, mais (oui, j'ai encore un mais...) encore une fois, deux hypothèses semblent être trop liées.
Admettons qu'on garde l'hypothèse de la convergence, mais pas de la continuité.
Le problème que ça pose est que le point fixe peut ne pas exister (cf tes exemples).
Le hic, c'est qu'encore une fois, la fonction de base, si on décide de "supprimer" les valeurs aux discontinuités et de les prolonger par continuité si on peut (j'entends par là que si on s'amuse à mettre au niveau du point fixe une valeur arbitraire, on supprime ce cas), on retombe sur les fonctions classiques aux points fixes évidents.

Ma question reste la même, est-ce qu'on peut donc donner une vraie fonction discontinue au niveau du point fixe justement !? pour laquelle ça invalide ce théorème ?

Le problème c'est que je n'ai rien formalisé... :we:
Si on part de la définition (que j'invente sur le champ) : Soit f une fonction définie sur un intervalle I privé d'un nombre fini de points (soyons raisonnables). On dira que f admet un point fixe si 1) sur son ensemble de définition, elle en admet un de façon classique ou 2) sur un des points de discontinuités, elle y est prolongeable et que cette prolongation donne x=f(x).

La vraie question est alors : cette définition demande-t-elle la continuité à la fonction choisie pour que le théorème reste valable ?
:mur: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[chombier]

Une discontinuité "plus nette" ?

Un dernier exemple pour la route :
si

[BiancoAngelo]

Une discontinuité "plus nette" ?

Un dernier exemple pour la route :
si

prolongeable à gauche (pardon, précision vitale dans ma définition), ou à droite.
Ici, c'est à gauche que c'est fixe...

EDIT : pour préciser ma réponse, je dirais que c'est pareil que les autres cas, le crochet est encore ouvert au "bord" (à la limite) et le reste, on a beau mettre toutes les fonctions qu'on veut, ça change rien au problème...

Donc je donnerais cette définition plutôt :

Considérons que f, une fonction définie sur un intervalle I de R dans I, potentiellement privé d'un ensemble fini de réels (dénombrable peut-être ?) qu'on peut noter E , admet un point fixe L si quand par valeurs inférieures OU supérieures, avec .

Est-ce que cette définition te semble avoir un (bon) sens par rapport à tous les problèmes qu'on traite avec ces fameuses suites ?

Dans ce cas, en utilisant cette définition, la continuité est-elle de mise si on a la convergence de la suite ?

[zygomatique]

je ne comprends pas ces cogitations inutiles ....

le théorème dit que dans les conditions données la suite (u_n) converge vers un point fixe de f (c'est l'encadré de l'encadré du théorème)

épictou

tu peux construire toutes les fonctions g que tu veux telles que g(x) = f(x) pour tout x L

et g(L) = tout ce que tu veux de différent de L

tu ne fais que construire un exemple artificiel car le théorème s'applique à f !!!

ensuite si tu retires L de I ben c'est simple (u_n) ne converge plus dans I ....

il faut évidemment que (u_n) converge dans I (complétude de I dont j'ai parlé dès le début avec mon exemple de

et alors la condition f(I) C I conduit à f(L) = L via la continuité de f ....


d'ailleurs si tu ne parles que de g n'existant" que sur I et si L n'est pas dans I on ne peut même plus parler de g(L) ...

en particulier dans tous les exemples que tu donnes ensuite tu ne donnes pas I ...


pour revenir à la question de BiancoAngelo bien plus intéressante :

la continuité est une condition suffisante ...

je pense qu'il existe des fonctions f non continues pour lesquelles on a tout autant f(L) = L que pas f(L) = L

par exemple en considérant des suites montones (u_n) convergeant vers L et f périodique sur un intervalle du type [0, L] avec f(L-) = L et f(L+) = -L (limite à gauche, limite à droite)

et L est la période de f ...

...

[paquito]

Bonjour à tous.

Je ne pense pas être le seul à m'abreuver de la prose de M. Costantini tant son site est riche et bien structuré.

Malgré tout, il reste certaines zones d'ombre, et en voici une qui se trouve dans ce poly : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/agreg_fichiers/recur.pdf

Le théorème 1.1 (ça commence bien) dit que si :
- f est une fonction réelle définie sur un intervalle I
- , i.e. I est stable par f
- la suite est définie par son premier terme et la relation de récurrence :
Et surtout :
- f est continue sur I
-
Alors , i.e. l est un point fixe de l

Deux petites questions :
Il n'est pas spécifié si I est borné, ni si l est réel ou appartient à la droite réelle achevée. Que se passe-t-il si ?

Il n'est pas spéficié si I est fermé, Que se passe-t-il si ?

Il est surtout précisé que f doit être contractante sur I!! tu peux prendre sur [1; +oo[, la suite associée convergera vers 1 même si tu prend; par contre, si tu prend sur I=[2; +oo[ tu as bien, mais f n'a pas de point fixe et toute suite associée diverge vers +oo.

[chombier]

Il est surtout précisé que f doit être contractante sur I!! tu peux prendre sur [1; +oo[, la suite associée convergera vers 1 même si tu prend; par contre, si tu prend sur I=[2; +oo[ tu as bien, mais f n'a pas de point fixe et toute suite associée diverge vers +oo.

Rien à voir, on parle du théorème 1.1, pas du 1.3

[paquito]

Que penser vous de cette fonction définie sur par ?

[zygomatique]

très joli ....

mais à nouveau f(2) n'appartient pas à [0, 2[ ni même à [0, 2] et ce dernier intervalle ne vérifie pas la condition f(I) C I

à nouveau il faut revenir à des évidences ::

ce théorème ne dit que ce qu'il dit !!!!

sous réserve que trois conditions sont vérifiées alors on a la conclusion ....

maintenant on peut faire tout ce qu'on veut ....

ta fonction n'est pas continue mais il semble qu'on ai toujours une suite croissante .... et comme elle est majorée elle converge ....

et on en peut rien conclure d'autre ...

et à nouveau pour par exemple x > 1.5 alors f(x) = (2/3)(x + 1)

et que la solution de f(x) = x est 2 ...

donc qu'elle converge vers 2 ....

[paquito]

On a bien ; pour toute valeur de , converge mais on a toujours et f n'a aucun point fixe!

[zygomatique]

mais f n'est pas continue en 1 ...

et donc le théorème ne s'applique pas ... et donc on s'en fout .... du théorème !!!

[paquito]

très joli ....

mais à nouveau f(2) n'appartient pas à [0, 2[ ni même à [0, 2] et ce dernier intervalle ne vérifie pas la condition f(I) C I

à nouveau il faut revenir à des évidences ::

ce théorème ne dit que ce qu'il dit !!!!

sous réserve que trois conditions sont vérifiées alors on a la conclusion ....

maintenant on peut faire tout ce qu'on veut ....

ta fonction n'est pas continue mais il semble qu'on ai toujours une suite croissante .... et comme elle est majorée elle converge ....

et on en peut rien conclure d'autre ...

et à nouveau pour par exemple x > 1.5 alors f(x) = (2/3)(x + 1)

et que la solution de f(x) = x est 2 ...

donc qu'elle converge vers 2 ....

On a ,qu'est ce que tu racontes??? Ce contre exemple montre que la continuité de f est nécessaire;fais attention aux informations que l'on te donnes; ça t'évitera de dire des conneries!!

PS:Ent signifie partie entière.

[mathelot]

un exemple

[paquito]

on a bien, mais f n'admet pas de point fixe; toutefois, pour tout , converge,; vers si , mais et vers si
mais , toutefois on a dans les deux cas.
j'ai donné cet exemple pour montrer qu'il était préférable d'avoir I fermé et f continue.

[paquito]

un exemple

bonjour mathelot,

merci pour ton exemple très singulier; je suppose qu'on pose et que : ta fonction est vraiment particulière: déjà il y a une infinité de points fixes pour avec en prime! est hors sujet puisquen'est pas dérivable en , le plus intéressant est car c'est le plus grand et pour et si l'on prend on a une convergence vers ; et comme la limite de en +oo est 1 un on peut prendre , sera très proche de 1; par contre, pour , ça se complique sérieusement, hormis les cas triviaux , tous les points fixes sont répulsifs et on rentre dans le domaine où f a un comportement anarchique et il y a une infinité d'intervalles où et donc va sortir de. Si on accepte des valeurs négatives on peut avoir une convergence vers 0 et aussi, si on prend par exemple, mais on sort vraiment de .

En tout cas un très bel exemple que je vais retenir.

[zygomatique]

On a ,qu'est ce que tu racontes??? Ce contre exemple montre que la continuité de f est nécessaire;fais attention aux informations que l'on te donnes; ça t'évitera de dire des conneries!!

PS:Ent signifie partie entière.

MDR

si tu ne sais pas lire ...

mais à nouveau f(2) n'appartient pas à [0, 2[ ni même à [0, 2] et ce dernier intervalle ne vérifie pas la condition f(I) C I

chez moi ce dernier (intervalle) est [0, 2] puisque j'en cite deux : [0, 2[ et [0, 2] et que ce second est le dernier et que

quant à la partie entière je sais .... je ne suis pas aussi c... que j'en ai l'air ... :ptdr:

tu devrais relire ce que j'ai écrit ....je dis simplement qu'on n'applique pas un théorème à un cas où il ne s'applique pas .... comme le joli exemple que tu nous proposes

:lol3:

[paquito]

Ce n'est pas un exemple, c'est un contre exemple dans le cas où f n'est pas continue, ce qui veut dire que l'hypothèse de continuité est nécessaire!

[BiancoAngelo]

Ce n'est pas un exemple, c'est un contre exemple dans le cas où f n'est pas continue, ce qui veut dire que l'hypothèse de continuité est nécessaire!

Bonjour paquito,

Merci de ton exemple.
Je crois je n'aurais pas du lancer cette histoire...

Encore une fois, l'exemple que tu fournis, même s'il n'y a pas de point fixe au sens pur, est un point fixe dans une définition personnelle que j'ai mise au dessus...

Il serait bien d'écarter ces cas où la discontinuité est "comme par hasard" au niveau de la limite.

Apparemment, vue la difficulté à trouver des exemples parlants (ou même un seul), je pense que ça illustre plutôt bien le fait qu la convergence de la suite et l'hypothèse de la continuité sont "hyper" liées.

Si je repose ma question ainsi (ultime tentative, après, de toute façon, ça reste ma vision de la chose...) :

Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).

On suppose que cette suite converge.
Alors la limite de cette suite, qu'on peut noter L, est soit la limite à gauche soit la limite à droite de f en L (correspondance au point fixe "retravaillé").


C'est dans cette optique qu'il est intéressant de travailler je trouve. Car la notion de point fixe (pur) est trop restrictive.

Maintenant, ce que j'ai écrit en rouge, peut peut-être être invalidé par un contre-exemple...
C'est la question en tant que tel.
Et même si personne ne donne de contre exemples, ce n'est pas grave...
Mon but était d'illustrer ce cas un peu plus intéressant... je trouve.